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Avance de tres ruedas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres rodillos cilíndricos macizos. Uno de ellos tiene masa m_1=6 kg y radio R=15cm. Los otros dos tienen masa m_2=m_3=2\,\mathrm{kg} y radio r=10\,\mathrm{cm}. Los rodillos están unidos por un armazón rígido triangular sin masa (que sería el sólido “4”), de manera que los centros de los rodillos inferiores distan D=30\,\mathrm{cm}

En un instante dado el centro C del rodillo “1” avanza con velocidad \vec{v}_{10}^C=12\vec{\imath}⃗ (\mathrm{cm}/\mathrm{s}) (siendo el sólido “0” el suelo). Determine:

  1. Las velocidades angulares de los tres rodillos respecto al suelo.
  2. La posición del centro instantáneo de rotación I10.
  3. La cantidad de movimiento del sistema.
  4. El momento cinético del sistema respecto al punto O.
  5. La energía cinética del sistema.

2 Velocidades angulares

2.1 De los rodillos inferiores

Dado que el armazón se traslada hacia adelante, las velocidades de los tres centros, respecto al suelo deben ser iguales.

\vec{v}^{C}_{10}=\vec{v}^{C_2}_{20}=\vec{v}^{C_3}_{30}=v_0\vec{\imath}_0

Como el rodillo 2 está rodando sobre el suelo, si A es el punto de contacto con éste

\vec{0}=\vec{v}^A_{20}=v_0\vec{\imath}_0+\omega_{20}\vec{k}\times(-r\vec{\jmath}_0)=(v_0+\omega_{20}r)\vec{\imath}_0

por lo que

\omega_{20}=-\frac{v_0}{r}

y, por la misma razón

\omega_{30}=-\frac{v_0}{r}

2.2 Del rodillo superior

El rodillo superior rueda sobre los inferiores. Si P es el punto de contacto entre el rodillo 2 y el 1 se cumple

\vec{v}^P_{12}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^P_{10}=\vec{v}^P_{20}

La velocidad de P, como punto del rodillo 2, es

\vec{v}^P_{20} = \vec{v}^{C_2}_{20}+\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{C_2P}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{r}\vec{k}\times(r\vec{\jmath}_2)=v_0\vec{\imath}_0+v_0\vec{\imath}_2

siendo \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2\} una base girada de forma que \vec{\jmath}_2 va a lo largo de la varilla (no es imprescindible emplear esta base, puede hacerse todo en la base "0", introduciendo los senos y cosenos correspondientes).

La velocidad de P como parte del sólido 1 es

\vec{v}^P_{10} = \vec{v}^{C}_{10}+\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{CP}=v_0\vec{\imath}_0+\omega_{10}\vec{k}\times(-R\vec{\jmath}_2)=v_0\vec{\imath}_0+\omega_{10}R\vec{\imath}_2

Igualando las dos expresiones resulta

\omega_{10}=\frac{v_0}{R}

Los valores numéricos de estas cantidades son

\omega_{20}=\omega_{30}=-\frac{v_0}{r}=-\frac{12\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{10\,\mathrm{cm}}=-1.2\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

y

\omega_{10}=+\frac{v_0}{R}=-\frac{12\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{15\,\mathrm{cm}}=+0.8\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

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