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Asociaciones de resortes

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Muelles en paralelo)
(Muelles en serie)
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===Muelles en serie===
===Muelles en serie===
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Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad <math>x_1</math>. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad
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<center><math>x_2 = x- x_1\,</math>{{tose}}<math>x_1 + x_2 = x\,</math></center>
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La fuerza sobre la masa m, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle
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<center><math>m a = F_2 = -k_2(x-x_1)\,</math></center>
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¿Cuánto vale <math>x_1</math>? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa <math>m_0</math>
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Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante k_1, unido a la pared, y otro de constante k_2, unido a la masa m. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá
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<center><math>m_0a_1 = -k_1x_1 -k_2(x_1-x) = F_1-F_2\,</math></center>
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Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer <math>m_0\to 0</math> y por tanto
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<math>F_1-F_2 = 0\,</math>{{tose}}<math>F_1 = F_2=F</math></center>
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esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y ´la que éste hace sobre el punto de anclaje.
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Por tanto
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<center><math>x_1 = -\frac{F_1}{k_1}=-\frac{F}{k_1}</math>{{qquad}}{{qquad}<math>}x_2 = -\frac{F_2}{k_2}=-\frac{F}{k_2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>x=x_1+x_2=-\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)F</math></center>
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y la constante equivalente a la asociación en serie cumple
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<center><math>\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}</math>{{tose}}<math>k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}</math></center>
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Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:
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* Si los muelles están en serie
[[Categoría:Problemas de movimiento oscilatorio]]
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Revisión de 15:59 8 feb 2009

Contenido

1 Enunciado

Determine la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles de constantes k1 y k2 cuando

  1. los muelles están conectados en paralelo.
  2. los muelles están conectados en serie.

2 Solución

Previamente al cálculo hay que definir qué entendemos por asociación en serie o en paralelo. El concepto es análogo al de las asociaciones de elelemntos en un circuito. Dos resortes estarán

  • en paralelo, cuando están conectados por sus dos extremos,
  • en serie, cuando lo están solo por uno dellos y en el punto de conexión no hay conectado ningún resorte adicional.

2.1 Muelles en paralelo

Por simplicidad supondremos el caso unidimensional, aunque resultados análogos se tienen en el caso general tridimensional.

Suponemos una masa unida a un punto fijo a través de dos resortes, de constantes k1 y k2. Cuando la masa se desplaza una cantidad x, los dos muelles se estirarán en la misma cantidad

x_1 = x_2 = x\,

La fuerza total sobre la masa, resultante de las fuerzas aplicadas, vale

F = F_1 + F_2 = -k_1x_1 - k_2x_2 = -k_1x-k_2x = -(k_1+k_2)x\,

Por tanto, la asociación se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constantes

k = k_1 + k_2\,

2.2 Muelles en serie

Consideremos ahora dos mueles puestos uno a continuación del otro. El muelle 1 se encuentra anclado a la pared y se estirará una cantidad x1. El muelle 2 se encuentra anclado a éste, y se estirará una cantidad

x_2 = x- x_1\,   \Rightarrow   x_1 + x_2 = x\,

La fuerza sobre la masa m, situada en el extremo libre del muelle 2, es ejercida por este muelle

m a = F_2 = -k_2(x-x_1)\,

¿Cuánto vale x1? Una forma de hallarlo es considerar, temporalmente, que en el punto de unión tenemos una pequeña masa m0

Esa masa está unida a dos muelles, uno de constante k_1, unido a la pared, y otro de constante k_2, unido a la masa m. La 2ª ley de Newton, para esta masa intermedia se leerá

m_0a_1 = -k_1x_1 -k_2(x_1-x) = F_1-F_2\,

Si ahora consideramos que esa masa en realidad no está ahí, esto equivale a hacer m_0\to 0 y por tanto

F_1-F_2 = 0\,   \Rightarrow   F1 = F2 = F

esto es, la fuerza se transmite a lo largo de la asociación, de forma que la fuerza que la masa ejerce sobre el muelle 2 es la misma que la que éste hace sobre el muelle 1 y ´la que éste hace sobre el punto de anclaje.

Por tanto

x_1 = -\frac{F_1}{k_1}=-\frac{F}{k_1}    {{qquad}No se pudo entender (error de sintaxis): }x_2 = -\frac{F_2}{k_2}=-\frac{F}{k_2}         x=x_1+x_2=-\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)F

y la constante equivalente a la asociación en serie cumple

\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}   \Rightarrow   k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}

Resumiendo, de forma análoga a como ocurre con los condensadores en los circuitos:

  • Si los muelles están en serie

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