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Ascensor térmico (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se quiere construir un “ascensor térmico” mediante un cilindro con pistón. Para ello, tenemos un tubo cilíndrico de 16 cm² de sección. Inicialmente (“estado A”) contiene aire seco a p_A=100\,\mathrm{kPa} y T_A=300\,K. El pistón se halla inicialmente a una altura h_A=10\,\mathrm{cm}. La presión exterior es en todo momento de 100 kPa. El ciclo descrito por este gas es el siguiente:

A→B: Manteniendo el cilindro en contacto con un baño térmico a 300K, se coloca bruscamente sobre el pistón una pesa de 40N, de manera que el pistón baja.
B→C: Dejando la pesa puesta, se aísla el cilindro del baño a 300K y en su lugar se pone en contacto con uno a 600K, de manera que el pistón sube lentamente por la dilatación del gas, llevando la pesa con él.
C→D: Manteniendo el cilindro en contacto con el baño a 600K, se quita la pesa en su nueva altura. Al quitarla bruscamente, el pistón sube aún más.
D→A: Sin la pesa, se aísla del baño a 600K y se vuelve a poner en contacto con el baño a 300K, de manera que retorna lentamente a su estado inicial.

Para este proceso:

  1. Determine la presión, volumen y temperatura en cada uno de los estados A, B, C y D.
  2. Calcule, para cada paso, el calor y el trabajo que entran en el tubo (que serán negativos si salen), así como la variación en la entalpía y la energía interna del gas.
  3. Calcule el trabajo neto que sale del sistema en un ciclo. ¿Coincide este trabajo con el incremento en la energía potencial de la pesa?
  4. A partir del calor y el trabajo halle el rendimiento η del ciclo, así como el rendimiento de la segunda ley, ε, comparándolo con el de un ciclo reversible entre estas dos temperaturas.

2 Variables de estado

2.1 Estado A

p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_A=300\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_A=Sh_A=0.160\,\mathrm{L}

2.2 Estado B

p_B=p_A+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_B=T_A=300\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_B=\frac{p_Av_A}{p_B}=0.128\,\mathrm{L}

2.3 Estado C

p_C=p_B=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_C=600\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_C=\frac{V_BT_C}{T_B}=0.256\,\mathrm{L}

2.4 Estado D

p_D=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_D=600\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_D=\frac{V_AT_D}{T_A}=0.320\,\mathrm{L}

3 Trabajo, calor y energía

3.1 Proceso A→B

\Delta U = nc_v\Delta T = 0\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = 0

La presión exterior es constante

W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_B(V_B-V_A)=+4.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\overbrace{\Delta U}^{=0}-W=-4.0\,\mathrm{J}

3.2 Proceso B→C

\Delta U = nc_v\Delta T = \frac{p_CV_C-p_BV_B}{\gamma-1}=+40.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = \frac{\gamma(p_CV_C-p_BV_B)}{\gamma-1}=+56.0

La presión exterior es constante

W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_C(V_B-V_C)=-16.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\Delta H =\Delta U-W=+56.0\,\mathrm{J}

3.3 Proceso C→D

\Delta U = nc_v\Delta T = 0\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = 0

La presión exterior es constante

W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_D(V_D-V_D)=-6.4\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\overbrace{\Delta U}^{=0}-W=+6.4\,\mathrm{J}

3.4 Proceso D→A

\Delta U = nc_v\Delta T = \frac{p_AV_A-p_DV_D}{\gamma-1}=-40.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad \Delta H = n c_p\Delta T = \frac{\gamma(p_AV_A-p_DV_D)}{\gamma-1}=-56.0

La presión exterior es constante

W=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_A(V_A-V_D)=+16.0\,\mathrm{J}\qquad\qquad Q=\Delta H =\Delta U-W=-56.0\,\mathrm{J}

3.5 Tabla resumen

4 Trabajo neto de salida

5 Rendimientos

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