Enunciado

Tenemos un aro homogéneo de masa y radio con centro . Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

  1. Calcula la matriz de inercia en , usando los ejes indicados en la figura.
  2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por y forma un ángulo de con el eje .
  3. El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación paralelo al eje. Calcula el momento cinético en y la energía cinética del aro.

Solución

Tensor de inercia

La forma general del tensor de inercia en un punto es

Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.

Tenemos

Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple . Por la misma razón tenemos

Para el otro producto de inercia

Tenemos

por lo que

Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de , todas las direcciones perpendiculares a que pasen por son principales de inercia, en particular y . Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.

Vamos con los momentos de inercia. Al ser un sistema plano tenemos

Y por la simetría del aro tenemos

Basta entonces con calcular .

Todos los puntos están a la misma distancia del eje , el radio del aro . Y la integral que queda es la masa total del aro.

Entonces el tensor de inercia en es

con

Momento de inercia respecto a un eje

Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje que pase por el punto es

donde es un vector unitario en la dirección del eje .

Por simetría, podemos considerar que el eje está en el plano . El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de . Entonces el vector es

El momento de inercia pedido es

Momento cinético en la rotación

El vector rotación puede escribirse siendo el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se un punto fijo, el momento cinético es

Podemos ver que el momento cinético y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es

Por tanto el eje no es dirección principal de inercia

La energía cinética es, al ser un punto fijo