Línea 13: Línea 13:
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Si a las coordenadas de este punto genérico de <math>r\,</math> les restamos las coordenadas del punto <math>P(1,0,1)\,</math>, deducimos que el vector que va desde <math>P\,</math> hasta un punto genérico de <math>r\,</math> vale
Si a las coordenadas de este punto genérico de <math>r\,</math> les restamos las coordenadas del punto <math>P(1,0,1)\,</math>, deducimos que el vector que va desde <math>P\,</math> hasta un punto genérico de <math>r\,</math> vale:


<math>(\,2+3\,\lambda)\,\vec{\imath}-\,\lambda\,\vec{\jmath}+(\,4+2\,\lambda\,)\,\vec{k}\,</math>
<math>(\,2+3\,\lambda)\,\vec{\imath}-\,\lambda\,\vec{\jmath}+(\,4+2\,\lambda\,)\,\vec{k}\,</math>

Revisión actual - 11:51 9 ene 2024

Enunciado

En un sistema cartesiano se define el punto (de posición ) y la recta (que pasa por el punto de posición , y es paralela al vector ). Determine el vector que coincide con el camino más corto que lleva desde el punto hasta la recta .

Solución

El camino más corto que lleva desde el punto hasta la recta coincide con un vector ortogonal a que tiene su origen en y su extremo en un punto de (punto al que llamaremos ). Por tanto, nuestro objetivo en este ejercicio consiste en calcular dicho vector .

Sabemos que la recta pasa por el punto y admite como vector director a . Por tanto, las coordenadas de un punto genérico de dicha recta (ecuaciones -paramétricas de ) son:

Si a las coordenadas de este punto genérico de les restamos las coordenadas del punto , deducimos que el vector que va desde hasta un punto genérico de vale:

Finalmente, determinamos el vector exigiendo su ortogonalidad a y, por tanto, al vector :

Procedimiento alternativo

Un procedimiento alternativo consiste en descomponer el vector como la suma de dos vectores: uno perpendicular a y otro paralelo a (en la teoría se ha deducido una fórmula para este tipo de descomposición), y a continuación darse cuenta de que el vector buscado coincide precisamente con el vector perpendicular a de la citada descomposición:

Así que, restando las coordenadas de a las coordenadas de , determinamos el vector ; y, aplicando la fórmula correspondiente, obtenemos: