Triciclo (MR G.I.C.)

Enunciado

El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea ${\overline {AB}}$ (sólido "2", masa $m$, longitud $l=2a$, centro de masas $G$) contenida en el plano horizontal $OX_{1}Y_{1}$ y obligada a moverse de modo que su extremo $A$ tiene una velocidad apuntando a $B$, mientras que la velocidad de $B$ se mantiene siempre paralela al eje $OX_{1}$. Se propone trabajar con las coordenadas generalizadas $\{x,y,\theta \}$ indicadas en la figura.

1. Demuestra que las condiciones de movimiento implican las siguientes ecuaciones de ligadura para los puntos $A$ y $B$: $\{a_{1}\operatorname {sen} \theta {\dot {x}}+a_{2}\cos \theta {\dot {y}}+a_{3}{\dot {\theta }}=0;\,b_{1}{\dot {x}}+b_{2}{\dot {y}}+b_{3}{\dot {\theta }}\cos \theta =0\}$, donde $\{a_{i},b_{i}\}$ son constantes a determinar.
2. Desarrolla las ecuaciones de Lagrange con ligaduras correspondientes al sistema mecánico.
3. Calcula los valores de las fuerzas vinculares $\{{\vec {A}},{\vec {B}}\}$ responsables de las ligaduras del primer apartado en función de los multiplicadores de Lagrange del problema.

Solución

Reducción cinemática

El vector rotación es

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}.$

La velocidad en el centro de masas $G$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\dot {y}}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Ligaduras

La ligadura en el punto $A$ implica que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$ tiene que ser paralela al vector ${\overrightarrow {AB}}$. Este vector es

${\overrightarrow {AB}}=2a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+2a\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Usando el teorema de Chasles a partir de $G$ la velocidad en $A$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{21}^{\,G}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GA}}=({\dot {x}}+a{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {y}}-a{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1},$

donde hemos usado ${\overrightarrow {GA}}=-a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}-a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$.

Por tanto la ligadura puede aplicarse exigiendo que

${\vec {v}}_{21}^{\,A}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}\Longrightarrow {\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta -{\dot {y}}\cos \theta +a{\dot {\theta }}=0.$

Esta es una ligadura cinemática no integragble, es decir, es no holónoma.

La ligadura en $B$ implica que

${\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel {\vec {\imath }}_{1}.$

Usando el teorema de Chasles desde $G$ tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,G}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {GB}}=({\dot {x}}-a{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {y}}+a{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1},$

donde hemos usado ${\overrightarrow {GB}}=a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$.

Entonces

${\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel {\vec {\imath }}_{1}\Longrightarrow {\dot {y}}+a{\dot {\theta }}\cos \theta =0.$

Esta ligadura es cinemática integrable, es decir es holónoma.

Como hay dos ligaduras y es un movimiento plano, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Lo que es curioso en este problema es, que aunque la ligadura en $A$ es, por si sola, no holónoma, combinada con la ligadura en $B$ sí que se puede integrar. Es decir el problema es holónomo. Sin embargo, esta integración es complicada. Por ello, aunque el sistema puede tiene sólo un grado de libertad, vamos a trabajar con las tres coordenadas $\{x,y,\theta \}$. Usaremos multiplicadores de Lagrange para poder utlizar las dos coordenadas extras respecto al número de grados de libertad.

Función de Lagrange

Energía cinética

Modelando el triciclo como una barra de longitud $2a$ y masa $m$, su energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {1}{2}}m\,({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\dfrac {1}{2}}I{\dot {\theta }}^{2}.\qquad (I=ma^{2}/3)$

El peso no afecta en este problema, pues el centro de masas del triciclo no cambia de altura. Por tanto podemos escoger como energía potencial

$U=0$

La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {1}{2}}m\,({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\dfrac {1}{2}}I{\dot {\theta }}^{2}.$

Ecuaciones de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Por cada vínculo hay que añadir un multiplicador de Lagrange. Tenemos

${\begin{array}{lcl}g_{1}={\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta -{\dot {y}}\cos \theta +a{\dot {\theta }}=0&\Longrightarrow &\mu _{1}.\\g_{2}={\dot {y}}+a{\dot {\theta }}\cos \theta =0&\Longrightarrow &\mu _{2}.\end{array}}$

Ecuaciones

Tenemos una ecuación de Lagrange por cada coordenada. Para $x$ tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial x}}=\mu _{1}\,{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial {\dot {x}}}}+\mu _{2}\,{\dfrac {\partial g_{2}}{\partial {\dot {x}}}}.$

Las derivadas parciales que introducen los multiplicadores de Lagrange se hacen respecto a la velocidad ${\dot {x}}$ porque los vínculos son cinemáticos.

La ecuación resultante es

$m{\ddot {x}}=\mu _{1}\,\mathrm {sen} \,\theta \qquad .(1)$

Hacemos lo mismo para la coordenada $y$. Tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial y}}=\mu _{1}\,{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial {\dot {y}}}}+\mu _{2}\,{\dfrac {\partial g_{2}}{\partial {\dot {y}}}}.$

La ecuación resultante es

$m{\ddot {y}}=-\mu _{1}\cos \theta +\mu _{2}\qquad .(2)$

Por último, para la coordenada $\theta$

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \theta }}=\mu _{1}\,{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial {\dot {\theta }}}}+\mu _{2}\,{\dfrac {\partial g_{2}}{\partial {\dot {\theta }}}}.$

La ecuación resultante es

$I{\ddot {\theta }}=\mu _{1}a+\mu _{2}a\cos \theta \qquad .(3)$

Tenemos 5 incógnitas $\{x,y,\theta .\mu _{1},\mu _{2}\}$. Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos

${\begin{array}{lr}{\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta -{\dot {y}}\cos \theta +a{\dot {\theta }}=0,&(4)\\{\dot {y}}+a{\dot {\theta }}\cos \theta =0.&(5)\end{array}}$