Enunciado

Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas y , donde es una constante. La coordenada varía en el intervalo .

  1. Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
  2. Suponiendo que en la distancia recorrida es encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
  3. ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en ?

Solución

Vector tangente

Podemos parametrizar la curva en función de la coordenada

Calculamos el vector tangente usando la expresión

Derivando en la parametrización tenemos

El módulo de este vector es

Por tanto el vector tangente es

Distancia recorrida

La distancia recorrida en un desplazamiento elemental es

La distancia total recorrida es la suma de todos estos desplazamientos elementales, es decir

Vector normal en

La forma más fácil de encontrar este vector es dibujar la curva. A la derecha se muestra la gráfica escogiendo . Vemos que en el vector normal es

Otra forma más complicada es calcular el vector normal derivando el vector tangente,

El resultado es

Evaluándolo en obtenemos el resultado anterior.