Enunciado

Las masas puntuales y se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud . Una fuerza actúa sobre la masa . Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa.

  1. Calcula la tensión de la cuerda durante el movimiento
  2. Supongamos ahora que las dos masas son iguales, . En el instante inicial la masa esta en el punto y la cuerda está completamente estirada. Las dos masas están en reposo en este instante inicial. Ahora la fuerza depende del tiempo como , siendo una constante.
    1. Cuáles son las unidades base de en el S.I.
    2. ¿Cuál es la posición de la masa en función del tiempo?
    3. En el instante la partícula 1 se para súbitamente. ¿Cuanto tiempo tarda en chocar con ella la partícula 2?

Solución

Tensión en la cuerda

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada masa. Tenemos que aplicar la Segunda Ley de Newton a cada masa por separado

Expresamos los vectores que aparecen aquí en el sistema de ejes de la figura. Para la masa 1 tenemos

Para la masa 2 tenemos

Hemos usado que la aceleración de las dos masas debe ser la misma y que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos, pues no tiene masa. A partir de las expresiones vectoriales de la Segunda Ley de Newton obtenemos cuatro ecuaciones escalares

Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la aceleración de la masa

A partir de (3) obtenemos la tensión en la cuerda

Las ecuaciones (2) y (4) nos dan las magnitudes de las fuerzas normales

Movimiento con

Durante el movimiento la distancia entre las masas es constante. Entonces, las dos tienen la misma velocidad y aceleración.

Las unidades base de deben ser tales que la definición de sea compatible con las unidades de fuerza

Introducimos la definición de en la expresión que nos da la aceleración d elas masas

Esta aceleración depende del tiempo. Para obtener la velocidad hay que resolver la ecuación diferencial

Integrando obtenemos

En el instante inicial las masas estaban en reposo. Por tanto

Es decir, la velocidad de las masas en función del tiempo es

Para obtener la coordenada de cada masa debemos resolver la ecuación diferencial correspondiente. Para la masa tenemos

Integrando obtenemos

En el instante inicial la cuerda estaba estirada. Por tanto

Es decir

Procediendo de manera similar para la masa obtenemos

Parada súbita de la masa 2

En la masa se para. En ese instante, la cuerda deja de tirar de la masa . Por tanto, la aceleración de es cero a partir de ese instante y se mueve con velocidad constante e igual a la que tenía en

En la distancia entre las masas era . Como la masa 2 se mueve con velocidad uniforme, el tiempo que tarda en chocar con la otra masa es el que tarda en recorrer esa distancia