Velocidad media en un MAS (GIOI)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular $\omega$, pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En $t=0$ pasa por la posición de equilibrio con una velocidad $+v_{0}$.

1. ¿Cuánto vale la velocidad media entre $t=0$ y $t=T/4$, con $T$ el periodo de oscilación?
2. ¿Cuánto vale la aceleración en $t=T/4$?

Velocidad media

La velocidad media de una partícula en un movimiento rectilíneo se calcula como el cociente entre el desplazamiento neto y la duración del intervalo en que se realiza

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

En este caso, el intervalo se nos da como dato: es la cuarta parte del periodo

$\Delta t={\frac {T}{4}}$

En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en $t=0$ alcanza la máxima elongación en $T/4$; en $T/2$ vuelve a pasar por el origen en $3T/4$ alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en $T$ regresa al origen, completando el ciclo.

Por tanto el desplazamiento entre $t=0$ y $t=T/4$ es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud.

$\Delta x=A\,$

y la velocidad media será igual a

$v_{m}={\frac {A}{T/4}}={\frac {4A}{T}}$

Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado.

Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es

$x=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} (\omega t)$

En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior

$x={\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} (\omega t)$

La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale

$A={\frac {v_{0}}{\omega }}$

y queda la velocidad media

$v_{m}={\frac {4v_{0}}{\omega T}}$

pero

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

lo que nos da finalmente

$v_{m}={\frac {4v_{0}}{2\pi }}={\frac {2}{\pi }}v_{0}$

Aceleración

La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión

$a=-\omega ^{2}x$

con $x$ la posición medida respecto a la de equilibrio. En $t=T/4$ la elongación es la máxima y

$a(t=T/4)=-\omega ^{2}A=-\omega ^{2}{\frac {v_{0}}{\omega }}=-\omega v_{0}$