Disco subiendo escalón (Ene. 2019 G.I.C.)

Enunciado

Un disco de radio $R$ y masa $m$ se apoya en un escalón de altura $R/2$ como se indica en la figura. El contacto en el punto $A$ es liso mientras que en el punto $B$ es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $\mu$. Un fuerza ${\vec {F}}=-F_{0}\,{\vec {\imath }}$, con $F_{0}>0$, se aplica en el punto $C$. La gravedad actúa como se indica en la figura.

1. Determina el valor del ángulo $\theta$ mostrado en la figura, así como un vector unitario con la dirección y sentido del vector ${\overrightarrow {AG}}$.
2. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
3. Encuentra la expresión de las fuerzas que actúan sobre el disco en condición de equilibrio estático. ¿Para que valor de $h$ cambia el sentido de la fuerza de rozamiento?
4. Suponiendo que $h=3R/2$, determina el valor mínimo de $F_{0}$ para que el disco suba el escalón.

Solución

Ángulo y vector unitario

Observando la figura vemos que, a partir del triángulo resaltado en azul tenemos

$\mathrm {sen} \,\theta ={\dfrac {R/2}{R}}={\dfrac {1}{2}}\Longrightarrow \theta ={\dfrac {\pi }{6}}=30^{\circ }.$

El vector ${\overrightarrow {AG}}$ es

${\overrightarrow {AG}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}=R\,\left({\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\jmath }}\right).$

El módulo de este vector es $R$, como se observa en la figura. Por tanto, el vector unitario pedido es

${\vec {n}}_{AG}={\dfrac {\overrightarrow {AG}}{R}}={\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\jmath }}$

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido. Como fuerzas activas tenemos el peso y ${\vec {F}}$. Hay una fuerza vincular en $A$ dirigida hacia el centro del disco, pues en este punto la dirección normal la da la superficie del disco, no la esquina. En el punto $B$ hay una fuerza vincular normal, para que el disco no atraviese el suelo, y una fuerza de rozamiento paralela al suelo. Conocemos a priori el sentido de todas las fuerzas salvo la de rozamiento. Expresamos las fuerzas en el sistema de ejes de la figura

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=-F_{0}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {P}}=-mg\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {A}}=A\,{\vec {n}}_{AG}={\dfrac {\sqrt {3}}{2}}A\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {1}{2}}A\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {B}}=B\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {B}}_{R}=B_{R}\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Equilibrio estático

Para que un sólido rígido esté en equilibrio estático debe ocurrir que la fuerza neta sobre él sea nula y que el momento neto respecto de cualquier punto sea nulo.

De la primera condición obtenemos

${\vec {F}}+{\vec {P}}+{\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {B}}_{R}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &-F_{0}+{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}A+B_{R}=0,&(1)\\&&&\\Y)&\to &-mg+{\dfrac {1}{2}}A+B=0.&(2)\end{array}}\right.$

Para calcular el momento de las fuerzas elegimos el punto $G$. De este modo las fuerzas $A$, $B$ y $P$ no crean momento, pues el punto $G$ pertenece a las rectas soporte de las tres fuerzas. Tenemos

${\vec {M}}_{G}={\overrightarrow {GC}}\times {\vec {F}}+{\overrightarrow {GB}}\times {\vec {B}}_{R}={\vec {0}}.$

Para calcular el momento creado por la fuerza $F$ podemos hacerlo de dos formas. No conocemos la coordenada de $C$ sobre el eje $X$, pero no es necesaria para calcular el momento. Podemos llamarla $x_{C}$. Tenemos entonces

${\overrightarrow {GC}}\times {\vec {F}}=(x_{C}\,{\vec {\imath }}+(h-R)\,{\vec {\jmath }})\times (-F_{0}\,{\vec {\imath }})=F_{0}(h-R)\,{\vec {k}}.$

Otra forma de hacerlo es darse cuenta de que las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido son vectores deslizantes. Entonces podemos trasladar ${\vec {F}}$ sobre su recta soporte hasta el punto $E$. Al calcular así el momento obtenemos el resultado anterior.

Para la fuerza de rozamiento tenemos

${\overrightarrow {GB}}\times {\vec {B}}_{R}=(-R\,{\vec {\jmath }})\times (B_{R}\,{\vec {\imath }})=RB_{R}\,{\vec {k}}.$

Como el momento neto debe ser nulo obtenemos la ecuación

$RB_{r}+F_{0}(h-R)=0.\qquad (3)$

Las incógnitas son $\{A,\,B,\,B_{R}\}$. Tenemos tres ecuaciones, por lo que el problema está bien planteado. Resolviéndolas obtenemos

${\begin{array}{l}{\vec {A}}={\dfrac {F_{0}h}{{\sqrt {3}}R}}\,({\sqrt {3}}\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}),\\\\{\vec {B}}=\left(mg-{\dfrac {F_{0}h}{{\sqrt {3}}R}}\right)\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {B}}_{R}=F_{0}\,\left(1-{\dfrac {h}{R}}\right)\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

De la expresión de la fuerza de rozamiento vemos que si $h>R$ apunta hacia la izquierda, mientras que si $h<R$ apunta hacia la derecha. Cuando $h=R$ es nula.

Valor de $F_{0}$ para que el disco suba el escalón

Justo cuando el disco comienza a subir el escalón tenmos ${\vec {B}}={\vec {0}}$, pues entonces esta fuerza vincular ya no es necesaria. Si imponemos $h=3R/2$ tenemos

${\vec {B}}=\left(mg-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}F_{0}\right)\,{\vec {\jmath }}$

Entonces, para que el disco suba el escalón tenemos

$F_{0}\geq {\dfrac {2}{\sqrt {3}}}mg.$