Partícula deslizando sobre una barra horizontal con dos muelles (Ene. 2019 G.I.C.)
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Una partícula de masa desliza por una barra fija horizontal, como se indica en la figura. La masa está conectada a dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas y . El contacto entre la partícula y la barra es rugoso.
Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Encuentra las expresiones que dan las fuerzas que los muelles ejercen sobre la partícula.
Calcula las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en equilibrio estático.
Si el coeficiente de rozamiento estático es , determina el rango de posibles posiciones de equilibrio.
Suponemos ahora que no hay rozamiento. Encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.
En el instante inicial la partícula se encuentra en el puno con velocidad dirigida hacia la derecha. Encuentra la expresión que da la posición de la partícula en el tiempo.
Solución
Diagrama de cuerpo libre
La figura de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Las fuerzas que actúan son el peso, las fuerzas de los muelles, la fuerza vincular normal de la barra y la fuerza de rozamiento de la barra sobre la partícula.
Los muelles tienen longitud natural nula, por lo que la fuerza que ejercen puede calcularse como
Estos vectores geométricos son
Las expresiones de las fuerzas en el sistema de ejes de la figura son
Equilibrio estático
La condición para que una partícula esté en equilibrio estático es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero.
De estad dos ecuaciones despejamos y . Para una posición dada, las fuerzas vinculares son
Rango de posiciones de equilibrio
Para que la fuerza de rozamiento sea capaz de mantener el equilibrio debe cumplirse la condición
La puede ser positiva o negativa. Por tanto, el rango de posiciones de equilibrio es
Problema dinámico sin rozamiento
La ley que determina el movimiento es la Segunda Ley de Newton
No hay rozamiento en este caso. La aceleración es
La Segunda Ley proporciona dos ecuaciones
La primera es la ecuación de movimiento
Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico.
La segunda ecuación da el valor de la fuerza vincular
Movimiento de la partícula
Las condiciones iniciales que nos da el enunciado son
La solución general de la ecuación del MAS, así como la velocidad son
Imponemos las condiciones iniciales
De la primera ecuación obtenemos
Ahora, de la ecuación (6) obtenemos
La solución buscada es
Si en vez de escoger la solución en la ecuación (5) nos hubiéramos quedado con habríamos llegado directamente a la segunda expresión.