Enunciado

Una partícula de masa desliza por una barra fija horizontal, como se indica en la figura. La masa está conectada a dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas y . El contacto entre la partícula y la barra es rugoso.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Encuentra las expresiones que dan las fuerzas que los muelles ejercen sobre la partícula.
  2. Calcula las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en equilibrio estático.
  3. Si el coeficiente de rozamiento estático es , determina el rango de posibles posiciones de equilibrio.
  4. Suponemos ahora que no hay rozamiento. Encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.
  5. En el instante inicial la partícula se encuentra en el puno con velocidad dirigida hacia la derecha. Encuentra la expresión que da la posición de la partícula en el tiempo.

Solución

Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Las fuerzas que actúan son el peso, las fuerzas de los muelles, la fuerza vincular normal de la barra y la fuerza de rozamiento de la barra sobre la partícula.

Los muelles tienen longitud natural nula, por lo que la fuerza que ejercen puede calcularse como

Estos vectores geométricos son

Las expresiones de las fuerzas en el sistema de ejes de la figura son

Equilibrio estático

La condición para que una partícula esté en equilibrio estático es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero.

De estad dos ecuaciones despejamos y . Para una posición dada, las fuerzas vinculares son

Rango de posiciones de equilibrio

Para que la fuerza de rozamiento sea capaz de mantener el equilibrio debe cumplirse la condición

La puede ser positiva o negativa. Por tanto, el rango de posiciones de equilibrio es

Problema dinámico sin rozamiento

La ley que determina el movimiento es la Segunda Ley de Newton

No hay rozamiento en este caso. La aceleración es

La Segunda Ley proporciona dos ecuaciones

La primera es la ecuación de movimiento

Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico.

La segunda ecuación da el valor de la fuerza vincular

Movimiento de la partícula

Las condiciones iniciales que nos da el enunciado son

La solución general de la ecuación del MAS, así como la velocidad son

Imponemos las condiciones iniciales

De la primera ecuación obtenemos

Ahora, de la ecuación (6) obtenemos

La solución buscada es

Si en vez de escoger la solución en la ecuación (5) nos hubiéramos quedado con habríamos llegado directamente a la segunda expresión.