Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical, Noviembre 2014 (G.I.C.)

Enunciado

Un partícula de masa $m$ reposa sin rozamiento sobre un plano vertical definido por los puntos $A$ y $B$ de la figura. Está atada a dos muelles de constantes elásticas $k_{1}$ y $k_{2}$ y longitud natural nula, anclados en los puntos $O$ y $C$, respectivamente. La partícula no puede deplazarse a lo largo del eje $OZ$. El plano $AB$ puede desplazarse a lo largo del eje $OX$ de modo que se mantiene siempre vertical.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
2. ¿Que condición debe cumplirse para que el punto de equilibrio de la masa esté sobre el eje $OX$?
3. ¿Qué condición debe cumplir $x_{P}$ para que el plano $AB$ ejerza una fuerza sobre la partícula?
4. Supongamos que existe rozamiento entre la partícula y el plano, con un coeficiente de rozamiento estático $\mu _{e}$. Si $y_{m}$ es la coordenada de la partícula sobre el eje $OY$, calcula el módulo de la fuerza de rozamiento.
5. En la situación con rozamiento, supongamos que $k_{1}=k_{2}=k$, $mg=2kd$, $d=l$ y $x_{P}=l/4$. ¿Cuál es el rango de posiciones de equilibrio de la partícula sobre el plano?

Solución

Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando el vínculo es liso. La fuerza de reacción vincular es perpendicular al plano y, si actúa, debe empujar hacia la izquierda.

Condición para que la partícula esté sobre el eje $OX$ y para que el plano ejerza fuerza

La expresión de las fuerzas en los ejes elegidos es

${\begin{array}{l}m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{O}=-k_{1}{\overrightarrow {OP}}=-k_{1}x_{P}\,{\vec {\imath }}-k_{1}y_{P}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{A}=-k_{2}{\overrightarrow {CP}}=-k_{2}(x_{P}-l)\,{\vec {\imath }}-k_{2}(y_{P}-d)\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}=\Phi \,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Las coordenadas de la partícula son $(x_{P},y_{P})$. La componente $\Phi$ de la fuerza de reacción vincular debe ser negativa, para ser coherente con el hecho de que la fuerza empuja hacia la izquierda.

En equilibrio la suma de las fuerzas debe ser cero

$m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{O}+{\vec {F}}_{C}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}$

Esta ecuación vectorial se descompone en dos ecuaciones escalares

${\begin{array}{ll}(X):&-k_{1}x_{P}-k_{2}(x_{P}-l)+\Phi =0\\&\\(Y):&-mg-k_{1}y_{p}-k_{2}(y_{P}-d)=0\end{array}}$

La segunda ecuación nos da el valor de equilibrio de $y_{P}$

$y_{P}^{eq}={\dfrac {k_{2}d-mg}{k_{1}+k_{2}}}$

Para que la partícula esté sobre el eje $OX$ debe ocurrir $y_{P}=0$, es decir

$k_{2}d=mg$

Por otro lado, la fuerza de reacción vincular es

$\Phi =(k_{1}+k_{2})x_{P}-k_{2}l$

Para que el plano actúe esta componente debe ser negativa, pues la fuerza de reacción vincular sólo puede empujar hacia la izquierda. Entonces

$\Phi \leq 0\Longrightarrow (k_{1}+k_{2})x_{P}-k_{2}l\leq 0\Longrightarrow x_{P}\leq {\dfrac {k_{2}l}{k_{1}+k_{2}}}$

Análisis con rozamiento

La presencia del rozamiento introduce una fuerza mas, la fuerza de rozamiento, que debe ser paralela al plano. A diferencia de ${\vec {\Phi }}$, esta fuerza puede apuntar en cualquiera de los dos sentidos. La fuerza de rozamiento se expresa

${\vec {F}}_{R}=F_{R}\,{\vec {\jmath }}$

Ahora la condición de equilibrio es

$m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{O}+{\vec {F}}_{C}+{\vec {\Phi }}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}$

Esta ecuación vectorial se descompone en dos ecuaciones escalares

${\begin{array}{ll}(X):&-k_{1}x_{P}-k_{2}(x_{P}-l)+\Phi =0\\&\\(Y):&-mg-k_{1}y_{p}-k_{2}(y_{P}-d)+F_{R}=0\end{array}}$

El rozamiento hace que haya varias posiciones de equilibrio. La fuerza de rozamiento se adapta para que la suma total de fuerzas sea cero. Si la coordenada $y_{P}$ de la partícula es $y_{P}=y_{m}$ la componente de la fuerza de rozamiento vale

$F_{R}=mg-k_{2}d+(k_{1}+k_{2})y_{m}$

Ahora bien, no todos los valores $y_{m}$ dan como resultado una posición de equilibrio. Para que esto ocurre el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que su valor máximo posible

$|{\vec {F}}_{R}|\leq \mu |{\vec {\Phi }}|\Longrightarrow |mg-k_{2}d+(k_{1}+k_{2})y_{m}|\leq \mu |(k_{1}+k_{2})x_{p}-k_{2}l|$

Vamos a analizar las condiciones que esto impone en el caso simplificado que se da en el enunciado. Usando los valores indicados tenemos

$|{\vec {F}}_{R}|=|kd+2ky_{m}|,\qquad \qquad |{\vec {\Phi }}|={\dfrac {1}{2}}kd$

Por tanto, para que haya equilibrio debe cumplirse

$|kd+2ky_{m}|\leq {\dfrac {1}{2}}\mu kd$

El valor de $y_{m}$ puede ser negativo (cuando está por debajo del eje $OX$). Si $F_{R}$ es positivo entonces

$|kd+2ky_{m}|=kd+2ky_{m}\leq {\dfrac {1}{2}}\mu kd\Longrightarrow y_{m}\leq {\dfrac {d}{4}}(\mu -2)$

Por otra parte, si $F_{R}$ es negativo tenemos

$|kd+2ky_{m}|=-kd-2ky_{m}\leq {\dfrac {1}{2}}\mu kd\Longrightarrow y_{m}\geq -{\dfrac {d}{4}}(\mu +2)$

Por tanto, para que sea posible el equilibrio debe ocurrir

$-{\dfrac {d}{4}}(\mu +2)\leq y_{m}\leq {\dfrac {d}{4}}(\mu -2)$

Si $\mu <2$ todo el intervalo de valores de equilibrio está por debajo del eje $OX$.