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6.8. Barra horizontal apoyada en disco

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio R, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal O1X1 de la escuadra fija O1X1Y1 (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante v0, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto A) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

  1. Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: \{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}, \{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\} y \{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}.
  2. Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto A, es decir: \vec{a}^{A}_{20}.
Archivo:barra-apoyada-disco.png

2 Reducciones cinemáticas

2.1 Movimiento {21}

La barra “2” efectúa un movimiento de traslación respecto al sólido “1”, por lo que la velocidad angular de este movimiento es nula y la velocidad de traslación es la misma para todos los puntos, en particular el centro del disco, O.

\vec{\omega}_{21}=\vec{0}        \vec{v}^O_{21}=v_0\vec{\imath}_1

2.2 Movimiento {01}

Al ser el contacto entre el disco y el eje horizontal una rodadura sin deslizamiento, el movimiento relativo es una rotación en torno a este punto. Por ello

\vec{v}^O_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CO}

La velocidad angular la obtenemos de que podemos hallar la velocidad del punto A, de contacto del disco y la barra, en el movimiento {01}, por ser este contacto también una rodadura sin deslizamiento

\vec{v}^A_{01}=\overbrace{\vec{v}^A_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^A_{21}=v_0\vec{\imath}_1

La velocidad de este punto cumple igualmente

\vec{v}^A_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{CA}=\omega_{01}\vec{k}\times(2R\vec{\jmath}_1)=-2R\omega_{01}\vec{\imath}_1

Igualando las dos expresiones obtenemos la velocidad angular

\vec{\omega}_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}

y la velocidad del punto O

\vec{v}^O_{01}=-\frac{v_0}{2R}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1

2.3 Movimiento {20}

Una vez que tenemos dos de las reducciones cinemáticas, podemos hallar la tercera mediante la composición de movimientos. Para la velocidad angular

\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\overbrace{\omega_{20}}^{=0}-\omega_{01}=\frac{v_0}{2R}

y para la lineal

\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1=\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1

3 Aceleración

La aceleración de A la podemos hallar mediante la composición de movimientos

\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}

de donde, despejando,

\vec{a}^A_{20}=\vec{a}^A_{21}-\vec{a}^A_{01}-2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}

El movimiento {21} del punto A es una traslación a velocidad constante, por lo que su aceleración es nula

\vec{a}^A_{21}=\frac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_1 = \vec{0}

La aceleración en el movimiento {01} no puede calcularse derivando, porque el punto A es una partícula material diferente en cada instante. Aplicamos la reducción en O del campo de aceleraciones, por ser O un punto material perfectamente definido

\vec{a}^A_{01}=\vec{a}^O_{01}+\alpha_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}

La aceleración de O es nula, por ser el movimiento de este punto rectilíneo y uniforme

\vec{a}^O_{01}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{v_0}{2}\vec{\imath}_1\right) = \vec{0}

También es nula la aceleración angular, por ser la velocidad angular constante

\alpha_{01}=\frac{\mathrm{d}\omega_{01}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(-\frac{v_0}{2R}\right)=0

Queda solo el último término

\vec{a}^A_{01}=-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}=-\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1

El término de Coriolis se anula, por ser el contacto una rodadura sin deslizamiento en ese punto

2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}\times\vec{0}=\vec{0}

lo que nos deja finalmente con

\vec{a}^A_{20}=-\vec{a}^A_{01}=\frac{v_0^2}{4R}\vec{\jmath}_1

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