Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ1 de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio L en el sistema de referencia fijo OX1Y1Z1 (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es |\vec{\omega}_{01}| = \Omega y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es R, rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante |\vec{\omega}_{20}| = \omega y con el sentido indicado en la figura. Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad \vec{v}^P_{21} y la aceleración \vec{a}^P_{21} del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
  3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
  4. Calcule numéricamente \vec{v}^P_{21} y \vec{a}^P_{21} para los valores R = 1\,\mathrm{m}, L
= 100\,\mathrm{m}, \omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} y \Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Archivo:helice-avion-rotacion.png

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente OZ0 = OZ1. Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}

El EIR de este movimiento es el propio eje OZ0.

2.2 Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0,\vec{0}\}

El EIR de este movimiento es uno paralelo a OY0 y que pasa por C.

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AP}

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

\vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0

3.2 Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de aceleraciones

\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}
Es la de una rotación con velocidad angulkar constante en torno a un eje permanente
\vec{a}^P_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= (\Omega\vec{k}_0)\times\left((\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)\right) =-L\Omega^2\vec{\imath}_0
Aceleración relativa {20}
Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.
\vec{a}^P_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= (\omega\vec{\jmath}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) =-R\omega^2\vec{k}_0
Término de Coriolis
Por último tenemos la contribución:
2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\Omega\vec{k}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) = 2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0

4 Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre

\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

\overrightarrow{PI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^P_{21}}{\omega_{21}^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}

Sustituyendo las diferentes cantidades

\overrightarrow{PI}= \frac{(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)\times(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)=\frac{-L\Omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)

Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en

\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI}=\frac{L\omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0+R\Omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)

Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como

\overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{\jmath}_0+\Omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{k}_0

Haciendo

\mu = \lambda +\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \mu(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)

que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje OX0 y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a OY0Z0.

Para los puntos de este eje, la reducción cinemática es

\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^I_{21}\}=\left\{\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0,\frac{L\omega\Omega(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\omega^2+\Omega^2}\right\}

5 Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad

\vec{v}^P_{21}= \omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0 = (100\vec{\imath}_0+100\vec{\jmath}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

con módulo

v^P_{21}=141\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La aceleración en este mismo instante vale

\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0 = (-100\vec{\imath}_0+200\vec{\jmath}_0-10000\vec{k}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

siendo su módulo

a^P_{21}=10002\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\simeq 10^4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 12:21, 24 sep 2013. - Esta página ha sido visitada 9.921 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace