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5.7. Movimiento relativo de dos ventiladores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia L) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a ω, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo OXYZ (sólido “1”) del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine

  1. \vec{\omega}_{20} y \vec{\alpha}_{20}
  2. \vec{v}^{O}_{20} y \vec{a}^{O}_{20};
  3. El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
Archivo:ventiladores-enfrentados.png

Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

2 Velocidad y aceleración angular

2.1 Velocidad angular

En este caso tenemos la descomposición

20 = 21 + 10

La velocidad angular es la suma de las de los dos movimientos relativos

\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}

La velocidad angular del movimiento {21} va en la dirección del eje OX

\vec{\omega}_{21}=\omega\vec{\imath}

La del movimiento {10} es igual en magnitud, y de sentido opuesto a la del movimiento {01}, que es el dato que se nos da

\vec{\omega}_{10}=-\vec{\omega}_{01}=-(-\omega\vec{\jmath})=\omega\vec{\jmath}

por lo que la velocidad angular absoluta vale

\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

2.2 Aceleración angular

Para las aceleraciones angulares tenemos la ley de composición

\vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}

La aceleración angular del movimiento {21} es nula, por ser una rotación con velocidad angular constante

\vec{\alpha}_{21}=\vec{0}

Lo mismo ocurre con la del movimiento {10}, ya que en este movimiento, el ventilador 0 “ve” al sistema “1” rotar con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo

\vec{\alpha}_{10}=\vec{0}

Las velocidades angulares que aparecen en el último término son vectores ya conocidos, por lo que

\vec{\alpha}_{20}=\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}=(\omega\vec{\jmath})\times(\omega\vec{\imath})=-\omega^2\vec{k}

3 Velocidad y aceleración

3.1 Velocidad

La velocidad del punto O en el movimiento {20} se puede descomponer como

\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}

La velocidad de O en el movimiento {21} es la de una rotación en torno a un eje que pasa por B

\vec{v}^O_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=(\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})=-L\omega\vec{k}

La velocidad del mismo punto en el movimiento {10} es otra rotación, en este caso en torno a un eje que pasa por A

\vec{v}^O_{10}=\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO}=(\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})=L\omega\vec{k}

Sumando las dos contribuciones

\vec{v}^O_{20}=-L\omega\vec{k}+L\omega\vec{k}=\vec{0}

El punto O se encuentra en reposo instantáneo en el movimiento {20}.

3.2 Aceleración

La fórmula correspondiente para la composición de aceleraciones la da el teorema de Coriolis

\vec{a}^O_{20}=\vec{a}^O_{21}+\vec{a}^O_{10}+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}

La aceleración de O en el movimiento {21} es la correspondiente a una rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por B

\vec{a}^O_{21}=\overbrace{\vec{a}^B_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{21}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})

Sustituyendo la velocidad angular y el vector de posición relativo

\vec{a}^O_{21}=(\omega\vec{\imath})\times((\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})) = \omega^2L\vec{\jmath}

Del mismo modo, la aceleración de O en el movimiento {10} es la de un movimiento de rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por A

\vec{a}^O_{10}=\overbrace{\vec{a}^A_{10}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{10}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{10}\times(\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO})

Sustituyendo la nueva velocidad angular y el correspondiente vector de posición relativo

\vec{a}^O_{10}=(\omega\vec{\jmath})\times((\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})) = \omega^2L\vec{\imath}

Por último, para el término de Coriolis tenemos

2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}=2(\omega\vec{\jmath})\times(\omega L\vec{k}) = -2\omega^2L\vec{\imath}

Sumando las tres contribuciones

\vec{a}^O_{20}=\omega^2L\vec{\jmath}+\omega^2L\vec{\imath} -2\omega^2L\vec{\imath}=\omega^2L(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})

4 Eje instantáneo de rotación

El Eje Instantáneo de Rotación es uno que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que

\vec{v}^O_{20}=\vec{0}        \vec{\omega}_{20}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

por lo que el EIR es uno que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente

\overrightarrow{OI}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

Supongamos que no conociéramos por el apartado anterior que \vec{v}^O_{20}=\vec{0}. ¿Podríamos haber determinado de forma sencilla la posición del EIR {20}? Sí. Observemos que los ejes de rotación de los movimientos {21} y {10} se cortan en el punto C de posición

\overrightarrow{OB}=L\vec{\imath}+L\vec{\jmath}

Por el teorema de Varignon, la composición de dos rotaciones sobre ejes concurrentes es otra rotación cuyo eje pasa por el punto de corte. Por tanto el movimiento {20} es necesariamente una rotación cuyo EIR pasa por C, ya que la velocidad absoluta de C es nula, por serlo la relativa y la de arrastre:

\vec{v}^C_{20}=\overbrace{\vec{v}^C_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{v}^C_{10}}^{=\vec{0}} = \vec{0}

La dirección del EIR la da la velocidad angular \vec{\omega}_{20}, de forma que

\overrightarrow{CI}= \lambda\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

La posición del eje respecto al origen del sólido 1 es

\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}=(L+\lambda\omega)\vec{\imath}+(L+\lambda\omega)\vec{\jmath}=\mu\vec{\imath}+\mu\vec{\jmath}

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