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4.5. Análisis de la velocidad de dos puntos de un sólido

De Laplace

1 Enunciado

Las velocidades, \vec{v}^{A} y \vec{v}^{B}, de sendos puntos, A y B, de un sólido rígido respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ han sido medidas en tres experimentos distintos. En todos ellos, los puntos A y B ocupaban idénticas posiciones respecto al triedro OXYZ, definidas por las coordenadas A(1,0,0) y B(0,1,0), respectivamente. Las velocidades medidas en los tres experimentos vienen dadas (en la base de OXYZ) por los siguientes pares de vectores:

  • a: \vec{v}^{A}= v \,(\vec{\imath} - \vec{\jmath})\;; \vec{v}^{B}= v \,(\vec{\imath} - \vec{\jmath})
  • b: \vec{v}^{A}= v \,(\vec{\imath} + \vec{\jmath})\;; \vec{v}^{B}= v \,(\vec{\imath} - \vec{\jmath})
  • c: \vec{v}^{A}= \sqrt{2}\,v\, \vec{\imath}\;; \vec{v}^{B}= \sqrt{2}\,v\, \vec{\imath}

Si se sabe que cada una de las situaciones medidas corresponde a uno de los casos siguientes:

  1. Se ha producido un error en las medidas.
  2. La velocidad de deslizamiento es v\,.
  3. El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pasa por A y B.

establezca razonadamente la relación de correspondencia entre los experimentos y los diferentes casos posibles.

2 Solución

Para analizar si se trata de un posible movimiento de un sólido rígido, comprobamos en primer lugar si se satisface la condición de equiproyectividad.

Para los casos (a) y (c) es evidente que sí, ya que las velocidades de las dos partículas son iguales (y por tanto, necesariamente tendrán la misma proyección sobre cualquier dirección).

Para el caso (b), en cambio, tenemos que

\overrightarrow{AB}=-\vec[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]{\imath}+\vec{\jmath}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} & = & (v\vec{\imath}+v\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & 0 \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} & = & (v\vec{\imath}-v\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -2v \end{matrix}\right.

Estas dos cantidades son diferentes. Por ello, no puede tratarse de un movimiento rígido. Concluimos que el caso (b) corresponde a un error en las medidas.

Para los casos (a) y (c) tenemos que la velocidad de los puntos A y B es la misma, por lo que el EIRMD es paralelo a la recta que pasa por estos dos puntos

\vec{\omega}\parallel\overrightarrow{PQ}\qquad\Rightarrow\qquad\vec{\omega}=\omega\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \omega\left(\frac{-\vec{\imath}+\vec{\jmath}}{\sqrt{2}}\right)

En el caso de que el EIRMD sea no solo paralelo, sino coincidente con la recta que pasa por A y B, la velocidad de estos dos puntos va a lo largo de este mismo eje. Esto ocurre, de los casos del enunciado, en la situación (a)

\vec{v}^A = v\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)\parallel \vec{\omega}=\omega\left(\frac{-\vec{\imath}+\vec{\jmath}}{\sqrt{2}}\right)

La velocidad de deslizamiento, para el caso (a) es

v_d = \frac{\vec{v}^A\cdot\vec{\omega}}{\omega}=-\sqrt{2}v

Por eliminación nos queda que la tercera posibilidad (que la velocidad de deslizamiento sea v) debe corresponder al caso (c). Comprobémoslo:

\vec{v}^A = \sqrt{2}\,v\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad v_d = \frac{\vec{v}^A\cdot\vec{\omega}}{\omega}= (v\sqrt{2}\vec{\imath})\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\jmath}\right) = -v

El signo se debe a la orientación que hemos tomado para el eje de giro. Dado que no conocemos el sentido de la velocidad angular, ignoramos el signo de la proyección de la velocidad de un punto sobre esta velocidad angular. Puesto que se nos dice que una de las tres respuestas es la correcta, concluimos que es vd = v y que en realidad la velocidad angular va en el sentido de B a A y no de A a B como habíamos supuesto.

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