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2.5. Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula \,\vec{a}(t)=-Kt\,\vec{\imath}\,\,, donde K\, es una constante de valor igual a 8.00 m/s³. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?

2 Velocidad y posición

Se trata de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje OX. Por tanto, podemos escribir:

\vec{r}=x\,\vec{\imath}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}=v_x\,\vec{\imath}=\dot{x}\,\vec{\imath}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=a_x\,\vec{\imath}=\dot{v}_x\,\vec{\imath}=\ddot{x}\,\vec{\imath}=-Kt\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)

Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo (t=0)\,, conocemos también las condiciones iniciales:

x(0)=0\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_x(0)=\dot{x}(0)=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para t>0\, se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:

\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=-Kt\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}v_x=-Kt\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{v_x(0)}^{v_x(t)}\!\mathrm{d}v_x=-K\!\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(t)=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2


\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}x=\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{x(0)}^{x(t)}\!\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}\!\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,x(t)=x(0)+v_x(0)t-\frac{1}{6}Kt^3

3 Tiempo que tarda en detenerse

La partícula se detendrá en el instante t=t^*\, en el que se anule su velocidad, es decir:

v_x(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(0)-\frac{1}{2}K(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2v_x(0)}{K}}

y sustituyendo los datos numéricos:

t^*=\sqrt{\frac{2\cdot 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3}}\,\mathrm{s}=2.50\,\mathrm{s}

4 Distancia del obstáculo

Para determinar la distancia (d)\, del obstáculo a la que se detiene la partícula, simplemente hay que evaluar la posición (coordenada x\,) de la partícula para el instante t=t^*\,, y después restársela a la posición x_{obs}\, en la que se encuentra el obstáculo:

d=x_{obs}-x(t^*)=x_{obs}-\left[x(0)+v_x(0)t^*-\frac{1}{6}K(t^*)^3\right]=x_{obs}-x(0)-v_x(0)t^*+\frac{1}{6}K(t^*)^3

y sustituyendo los datos numéricos:

d=50\,\mathrm{m}-0\,\mathrm{m}-25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2.50\,\mathrm{s}+\frac{1}{6}\cdot 8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3\cdot(2.50\,\mathrm{s})^3=8.33\,\mathrm{m}

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