Volumen de un tetraedro (G.I.A.) - Historial de revisiones

Pedro: Página creada con «== Enunciado == Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas $A(0,1,1)$ y $B(2,-1,2)$ , y que dos de las aristas que concurren en $B$ están definidas por los vectores libres $\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}$ y $\vec{v}_2 = 4 \vec{k}$ (las coordenadas están en metros). == Solución == El vector
2023-09-26T09:41:31Z

Página creada con «== Enunciado == Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas <math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math> están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y <math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros). == Solución == El vector <mat…»

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== Enunciado ==
Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas
cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas
<math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math>
están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y
<math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros).

== Solución ==

El vector <math>\overrightarrow{BA}</math> es
<center><math>
\overrightarrow{BA} = -2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k}
</math></center>
Podemos verificar que <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\vec{v}_1</math> y <math>\vec{v}_2</math> no son
colineales calculando su producto mixto
<center><math>
\overrightarrow{BA}\cdot(\vec{v}_1\times\vec{v}_2) = \left|
\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & -1\\
2 & -3 & 1\\
0 & 0 & 4
\end{array}
\right| = 8\neq 0
</math></center>
En cada vértice de un tetraedro concurren tres aristas, luego estos
tres vectores son las aristas que concurren en <math>B</math>. Esto nos define el
tetraedro completo, como se muestra en la figura
[[Imagen:F1_GIA_b02_p11.png|right]]
El volumen de un tetraedro
<center><math>
V = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}S h
</math></center>
donde <math>S</math> es el área de una de las caras y <math>h</math> es la altura, es decir,
la distancia entre esa cara y el vértice opuesto.

Si consideramos como base la cara formada por los vectores <math>\overrightarrow{BA}</math>
y <math>\vec{v}_1</math>, su área es
<center><math>
S = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1|,
</math></center>
mientras que la altura <math>h</math> es precisamente la proyección de <math>\vec{v}_2</math>
sobre la dirección del vector <math>\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1</math>
<center><math>
h = \frac{\displaystyle\vec{v}_2\cdot(\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1)}
{\displaystyle|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1|}
</math></center>
Sustituyendo queda
<center><math>
V = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\vec{v}_2\cdot(\overrightarrow{BA}\times\vec{v}_1)=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}\,\mathrm{m^2}
</math></center>

[[Categoría:Vectores libres|0]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]