Antonio: Página creada con «==Enunciado== Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular $\omega$ , pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En $t=0$ pasa por la posición de equilibrio con una velocidad $+v_0$ . # ¿Cuánto vale la velocidad media entre $t=0$ y $t=T/4$ , con $T$ el periodo de oscilación? # ¿Cuánto vale la aceleración en $t=T/4$ ? ==Velocidad media== La veloc…»

2023-09-21T21:24:41Z

Página creada con «==Enunciado== Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular <math>\omega</math>, pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En <math>t=0</math> pasa por la posición de equilibrio con una velocidad <math>+v_0</math>. # ¿Cuánto vale la velocidad media entre <math>t=0</math> y <math>t=T/4</math>, con <math>T</math> el periodo de oscilación? # ¿Cuánto vale la aceleración en <math>t=T/4</math>? ==Velocidad media== La veloc…»

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==Enunciado==
Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular <math>\omega</math>, pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En <math>t=0</math> pasa por la posición de equilibrio con una velocidad <math>+v_0</math>.

# ¿Cuánto vale la velocidad media entre <math>t=0</math> y <math>t=T/4</math>, con <math>T</math> el periodo de oscilación?
# ¿Cuánto vale la aceleración en <math>t=T/4</math>?

==Velocidad media==
La velocidad media de una partícula en un movimiento rectilíneo se calcula como el cociente entre el desplazamiento neto y la duración del intervalo en que se realiza

<center><math>v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}</math></center>

En este caso, el intervalo se nos da como dato: es la cuarta parte del periodo

<center><math>\Delta t = \frac{T}{4}</math></center>

En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en <math>t=0</math> alcanza la máxima elongación en <math>T/4</math>; en <math>T/2</math> vuelve a pasar por el origen en <math>3T/4</math> alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en <math>T</math> regresa al origen, completando el ciclo.

<center>[[Archivo:xt-mas.png|500px]]</center>

Por tanto el desplazamiento entre <math>t=0</math> y <math>t=T/4</math> es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud.

<center><math>\Delta x = A\,</math></center>

y la velocidad media será igual a

<center><math>v_m = \frac{A}{T/4} = \frac{4A}{T}</math></center>

Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado.

Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es

<center><math>x = x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior

<center><math>x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale

<center><math>A = \frac{v_0}{\omega}</math></center>

y queda la velocidad media

<center><math>v_m = \frac{4v_0}{\omega T}</math></center>

pero

<center><math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math></center>

lo que nos da finalmente

<center><math>v_m = \frac{4v_0}{2\pi} = \frac{2}{\pi}v_0</math></center>
==Aceleración==
La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión

<center><math>a = -\omega^2 x</math></center>

con <math>x</math> la posición medida respecto a la de equilibrio. En <math>t = T/4</math> la elongación es la máxima y

<center><math>a(t=T/4) = -\omega^2 A = -\omega^2 \frac{v_0}{\omega} = -\omega v_0</math></center>

Velocidad media en un MAS (GIOI) - Historial de revisiones