Pedro: Página creada con «== Enunciado == En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por $O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(1,0,2a).$ Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son: $\vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}).$ #Calcula la red…»

2023-09-25T10:01:18Z

Página creada con «== Enunciado == En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por <center> <math> O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(1,0,2a). </math> </center> Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son: <center> <math> \vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}). </math> </center> #Calcula la red…»

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== Enunciado ==
En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por
<center>
<math>
O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(1,0,2a).
</math>
</center>
Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:
<center>
<math>
\vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}).
</math>
</center>
#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>O </math> de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
#Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
#Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.

== Solución ==
=== Reducción cinemática ===
Vamos a comprobar primero que las velocidades son equiproyectivas. Los vectores que unen los puntos son
<center>
<math>
\overrightarrow{OA} = [0,a,0],
\qquad
\overrightarrow{OB} = [0,0,2a],
\qquad
\overrightarrow{AB} = [0,-a,2a].
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA} = 0
\\
\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA} = 0
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA} = \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA}
</math>
</center>
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB} = 0
\\
\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB} = 0
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB} = \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB}
</math>
</center>
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} = av_0
\\
\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} = av_0
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} = \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}
</math>
</center>
Vemos que las velocidades son compatibles con un movimiento instantáneo del sólido rígido.

Para obtener la reducción cinemática necesitamos calcular el vector rotación. Vamos a hacerlo a partir del Teorema de Chasles. El vector rotación será de la forma
<center>
<math>
\vec{\omega} = [\omega_x, \omega_y, \omega_z].
</math>
</center>
Utilizamos el Teorema de Chasles para relacionar las velocidades en <math>O </math> y <math>A </math>
<center>
<math>
\vec{v}^A - \vec{v}^O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}
=
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}
\\
\omega_x & \omega_y & \omega_z
\\
0 & a & 0
\end{array}
\right|
=
\left[
\begin{array}{c}
-a\omega_z \\ 0 \\ a \omega_x
\end{array}
\right]
</math>
</center>
Tenemos entonces
<center>
<math>
\left[
\begin{array}{c}
-v_0 \\ 0 \\ v_0/2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
-a\omega_z \\ 0 \\ a \omega_x
\end{array}
\right]
\Longrightarrow
\begin{array}{l}
\omega_z = v_0/a
\\
\omega_x = v_0/2a
\end{array}
</math>
</center>
Relacionamos ahora las velocidades en <math>O </math> y <math>B </math>
<center>
<math>
\vec{v}^B - \vec{v}^O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}
=
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}
\\
\omega_x & \omega_y & \omega_z
\\
0 & 0 & 2a
\end{array}
\right|
=
\left[
\begin{array}{c}
2a\omega_y \\ -2a \omega_x \\ 0
\end{array}
\right]
</math>
</center>
Tenemos entonces
<center>
<math>
\left[
\begin{array}{c}
0 \\ -v_0 \\ 0
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
2a\omega_y \\ -2a \omega_x \\0
\end{array}
\right]
\Longrightarrow
\begin{array}{l}
\omega_y = 0
\end{array}
</math>
</center>
El vector rotación instantánea es
<center>
<math>
\vec{\omega} = [v_0/2a, 0, v_0/a]
</math>
</center>
y la reducción cinemática en <math>O </math> es
<center>
<math>
R(O) = \{\vec{\omega}, \vec{v}^O\}.
</math>
</center>
Como <math>\vec{\omega}\neq\vec{0} </math>, el movimiento es una rotación o un movimiento helicoidal. Para discriminar tenemos que saber si el invariante escalar es o no nulo.
<center>
<math>
\vec{v}^O\cdot\vec{\omega} = v_0^2/2a\neq 0
</math>
</center>
Por tanto, se trata de un movimiento helicoidal.

=== Velocidad mínima ===
El vector velocidad mínima es la proyección de la velocidad en cualquier punto del sólido sobre la dirección del vector rotación:
<center>
<math>
\vec{v}^{\,\mathrm{min}} = \left(\dfrac{\vec{v}^O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}\right)\,\dfrac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}
=
[v_0/5, 0, 2v_0/5]
</math>
</center>

=== Eje instantáneo ===
El lugar geométrico que se pide es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento. A partir de la reducción cinemática podemos encontrar un punto de este eje con la expresión
<center>
<math>
\overrightarrow{OI^*} = \dfrac{\vec{\omega}\times\vec{v}^O}{|\vec{\omega}|^2} =
[0,4a/5,0]
</math>
</center>
Por tanto, la ecuación vectorial del eje es
<center>
<math>
\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OI^*} + \lambda\,\vec{\omega}=
\left[\dfrac{\lambda v_0}{2a}, \dfrac{4a}{5}, \dfrac{\lambda v_0}{a}\right]
</math>
</center>
con <math>\lambda\in(-\infty, +\infty) </math>.
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]

Velocidad instantánea en tres puntos (MR G.I.C.) - Historial de revisiones