Velocidad de tres puntos de un sólido - Historial de revisiones

Drake: /* EIR */

2024-01-12T09:43:10Z

EIR

← Revisión anterior		Revisión del 11:43 12 ene 2024
Línea 131:		Línea 131:
	<center><math>\overrightarrow{OI}=\left(\vec{\jmath}-\vec{k}\right)+\mu\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OI}=\left(\vec{\jmath}-\vec{k}\right)+\mu\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)</math></center>

	Otra posibilidad consiste en buscar aquellos puntos cuya velocidad es nula (por tratarse de una rotación). Esto nos da		Otra posibilidad consiste en buscar aquellos puntos <math>I(x,y,z)\,</math> cuya velocidad es nula (por tratarse de una rotación). Esto nos da

	<center><math>\begin{matrix}		<center><math>\begin{matrix}
	0 & = & \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AI} & = & 6x+4y-z-5\\		\vec{v}^I\cdot\overrightarrow{AI} & = & 0 & = & \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AI} & = & 6x+4y-z-5\\
	0 & = & \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BI} & = & 2x-y-2z+3\\		\vec{v}^I\cdot\overrightarrow{BI} & = & 0 & = & \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BI} & = & 2x-y-2z+3\\
	0 & = & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CI} & = & 4x+2z+2		\vec{v}^I\cdot\overrightarrow{CI} & = & 0 & = & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CI} & = & 4x+2z+2
	\end{matrix}</math></center>		\end{matrix}</math></center>

Drake: /* EIR */

2024-01-12T09:36:13Z

EIR

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Línea 121:		Línea 121:

	<center><math>		<center><math>
	\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}\~~qquad~~\qquad\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^A}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}</math>{{tose}}<math>\overrightarrow{OI} =\left(-\frac{1}{9}\vec{\imath}+\frac{11}{9}\vec{\jmath}-\frac{7}{9}\vec{k}\right)+\lambda\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)</math></center>		\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}\,\,;\qquad\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^A}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}\,\,\,\,\,</math>{{tose}}<math>\,\,\,\,\,\overrightarrow{OI} =\left(-\frac{1}{9}\vec{\imath}+\frac{11}{9}\vec{\jmath}-\frac{7}{9}\vec{k}\right)+\lambda\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)</math></center>

	Esta ecuación queda un poco más corta haciendo		Esta ecuación queda un poco más corta haciendo

Drake: /* Velocidad angular */

2024-01-12T09:33:52Z

Velocidad angular

← Revisión anterior		Revisión del 11:33 12 ene 2024
Línea 92:		Línea 92:
	Una de ellas consiste en observar que		Una de ellas consiste en observar que

	<center><math>\vec{v}^B - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}</math></center>		<center><math>\vec{v}^B - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}</math></center>

	Esto quiere decir que <math>\vec{\omega}</math> es ortogonal a las dos diferencias de velocidades y por tanto va en la dirección de su producto vectorial, esto es,		Esto quiere decir que <math>\vec{\omega}</math> es ortogonal a las dos diferencias de velocidades y por tanto va en la dirección de su producto vectorial, esto es,

Drake: /* Velocidad en P */

2024-01-12T09:32:08Z

Velocidad en P

← Revisión anterior		Revisión del 11:32 12 ene 2024
Línea 72:		Línea 72:
	A partir de la velocidad de tres puntos no colineales podemos determinar la velocidad angular y la de deslizamiento del sólido, y a partir de ahí la velocidad de cualquier otro punto. No obstante, también podemos hallar la velocidad de un punto P, no coplanario con A, B y C, a partir de la condición de rigidez. Aplicándola al par formado por P y cada uno de los tres puntos conocidos, tenemos		A partir de la velocidad de tres puntos no colineales podemos determinar la velocidad angular y la de deslizamiento del sólido, y a partir de ahí la velocidad de cualquier otro punto. No obstante, también podemos hallar la velocidad de un punto P, no coplanario con A, B y C, a partir de la condición de rigidez. Aplicándola al par formado por P y cada uno de los tres puntos conocidos, tenemos

	<center><math>\vec{v}^P=v_x\vec{\imath}+v_y\vec{\jmath}+v_z\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AP}=-\vec{\jmath}-2\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{CP}=\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{v}^P=v_x\vec{\imath}+v_y\vec{\jmath}+v_z\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AP}=-\vec{\jmath}-2\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{CP}=\vec{\imath}</math></center>

	Imponiendo ahora la equiproyectividad		Imponiendo ahora la equiproyectividad

Drake: /* Valores de las constantes */

2024-01-12T09:29:59Z

Valores de las constantes

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Línea 52:		Línea 52:
	con solución		con solución

	<center><math>a=-1\qquad b = 2\qquad c=0</math></center>		<center><math>a=-1\,\,;\qquad b = 2\,\,;\qquad c=0</math></center>

	Las posiciones y velocidades completas de los tres puntos son entonces		Las posiciones y velocidades completas de los tres puntos son entonces
Línea 58:		Línea 58:
	<center><math>		<center><math>
	\begin{array}{rclcrcl}		\begin{array}{rclcrcl}
	\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\~~qquad~~ &		\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\longrightarrow &
	\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-\vec{k}\\		\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-\vec{k}\\
	\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\~~qquad~~ &		\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\longrightarrow &
	\vec{v}^B& = & 2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\		\vec{v}^B& = & 2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\
	\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\~~qquad~~ &		\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\longrightarrow &
	\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+2\vec{k}		\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+2\vec{k}
	\end{array}		\end{array}

Drake: /* Valores de las constantes */

2024-01-12T09:27:23Z

Valores de las constantes

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Línea 31:		Línea 31:
	Proyectando e igualando		Proyectando e igualando

	<center><math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-8-a\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-3-2b</math>{{tose}}<math>-a+2b=5\,</math></center>		<center><math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-8-a\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-3-2b\,\,\,</math>{{tose}}<math>\,\,\,-a+2b=5\,</math></center>

	Repitiendo para A y C		Repitiendo para A y C

	<center><math>\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-10-2a\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-8-c</math>{{tose}}<math>-2a+c=2\,</math></center>		<center><math>\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-10-2a\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-8-c\,\,\,</math>{{tose}}<math>\,\,\,-2a+c=2\,</math></center>

	y para B y C		y para B y C

	<center><math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=b\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-2c</math>{{tose}}<math>b+2c=2\,</math></center>		<center><math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=b\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-2c\,\,\,</math>{{tose}}<math>\,\,\,b+2c=2\,</math></center>

	Tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas		Tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Drake: /* Valores de las constantes */

2024-01-12T09:25:29Z

Valores de las constantes

← Revisión anterior		Revisión del 11:25 12 ene 2024
Línea 31:		Línea 31:
	Proyectando e igualando		Proyectando e igualando

	<center><math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-8-a</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-3-2b</math>{{tose}}<math>-a+2b=5\,</math></center>		<center><math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-8-a\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-3-2b</math>{{tose}}<math>-a+2b=5\,</math></center>

	Repitiendo para A y C		Repitiendo para A y C

	<center><math>\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-10-2a</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-8-c</math>{{tose}}<math>-2a+c=2\,</math></center>		<center><math>\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-10-2a\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-8-c</math>{{tose}}<math>-2a+c=2\,</math></center>

	y para B y C		y para B y C

	<center><math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=b</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-2c</math>{{tose}}<math>b+2c=2\,</math></center>		<center><math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=b\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-2c</math>{{tose}}<math>b+2c=2\,</math></center>

	Tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas		Tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Drake: /* Enunciado */

2024-01-12T09:21:10Z

Enunciado

← Revisión anterior		Revisión del 11:21 12 ene 2024
Línea 4:		Línea 4:
	<center><math>		<center><math>
	\begin{array}{rclcrcl}		\begin{array}{rclcrcl}
	\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&~~\qquad~~\longrightarrow &		\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\longrightarrow &
	\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+a\vec{k}\\		\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+a\vec{k}\\
	\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&~~\qquad~~\longrightarrow &		\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\longrightarrow &
	\vec{v}^B& = & b\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\		\vec{v}^B& = & b\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\
	\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&~~\qquad~~\longrightarrow &		\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\longrightarrow &
	\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+c\vec{\jmath}+2\vec{k}		\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+c\vec{\jmath}+2\vec{k}
	\end{array}		\end{array}

Drake: /* Enunciado */

2024-01-12T09:20:27Z

Enunciado

← Revisión anterior		Revisión del 11:20 12 ene 2024
Línea 4:		Línea 4:
	<center><math>		<center><math>
	\begin{array}{rclcrcl}		\begin{array}{rclcrcl}
	\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\qquad &		\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\qquad\longrightarrow &
	\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+a\vec{k}\\		\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+a\vec{k}\\
	\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\qquad &		\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\qquad\longrightarrow &
	\vec{v}^B& = & b\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\		\vec{v}^B& = & b\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\
	\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\qquad &		\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\qquad\longrightarrow &
	\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+c\vec{\jmath}+2\vec{k}		\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+c\vec{\jmath}+2\vec{k}
	\end{array}		\end{array}

Drake: /* Valores de las constantes */

2024-01-12T09:18:41Z

Valores de las constantes

← Revisión anterior		Revisión del 11:18 12 ene 2024
Línea 67:		Línea 67:
	</math></center>		</math></center>

	Vemos que, aunque para conocer el estado de movimiento de un sólido necesitamos las velocidades de tres de sus puntos, que en total tienen 9 componentes, solo 6 de esas componentes son necesarias, resultando las otras 3 de la condición de rigidez, como corresponde a que un sólido rígido tenga ~~[[Cinemática_del_sólido_rígido_(G.I.T.I.)#Grados_de_libertad\|~~6 grados de libertad]].		Vemos que, aunque para conocer el estado de movimiento de un sólido necesitamos las velocidades de tres de sus puntos, que en total tienen 9 componentes, solo 6 de esas componentes son necesarias, resultando las otras 3 de la condición de rigidez, como corresponde a que un sólido rígido tenga 6 grados de libertad.

	==Velocidad en P==		==Velocidad en P==