Antonio: Página creada con «==Enunciado== Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto $v = -kx^2$ . Su posición inicial es $x(t=0)=x_0$ # ¿Cuáles son las unidades de $k$ en el SI # ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto $x$ ? # ¿Cuánto vale la posición como función del tiempo? ==Unidades de k== Por homogeneidad dimensional $1\,\frac{\mathrm{m}}{\…»$

2023-09-21T21:27:49Z

Página creada con «==Enunciado== Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto <math>v = -kx^2</math>. Su posición inicial es <math>x(t=0)=x_0</math> # ¿Cuáles son las unidades de <math>k</math> en el SI # ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto <math>x</math>? # ¿Cuánto vale la posición como función del tiempo? ==Unidades de k== Por homogeneidad dimensional <center><math>1\,\frac{\mathrm{m}}{\…»

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==Enunciado==
Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto <math>v = -kx^2</math>. Su posición inicial es <math>x(t=0)=x_0</math>

# ¿Cuáles son las unidades de <math>k</math> en el SI
# ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto <math>x</math>?
# ¿Cuánto vale la posición como función del tiempo?
==Unidades de k==
Por homogeneidad dimensional

<center><math>1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[k]\left(1\,\mathrm{m}\right)^2 \qquad\Rightarrow\qquad [k]=\frac{1}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}</math></center>
==Aceleración como función de la posición==
Derivamos respecto al tiempo la velocidad, mediante la regla de la cadena

<center><math>a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(-kx^2)=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math></center>

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad

<center><math>a=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2kx(-kx^2) = 2k^2 x^3</math></center>

==Posición como función del tiempo==
La velocidad es el cociente entre un desplazamiento diferencial y el intervalo que tarda en recorrerse

<center><math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v=-kx^2</math></center>

Esto quiere decir que el tiempo necesario para recorrer dx es, despejando,

<center><math>\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{v}=\frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}</math></center>

Sumando (es decir, integrando) todos los diferenciales obtenemos el tiempo necesario para llegar a una cierta posición

<center><math>\int_0^t \mathrm{d}t=\int_{x_0}^x \frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}</math></center>

lo que da

<center><math>t = \frac{1}{kx}-\frac{1}{kx_0}</math></center>

Despejamos de aquí x y da

<center><math>\frac{1}{kx}=t+\frac{1}{kx_0}=\frac{1+kx_0 t}{kx_0}\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{x_0}{1+kx_0 t}</math></center>

Velocidad cuadrática con la posición (GIOI) - Historial de revisiones