Drake: Página creada con «==Enunciado== Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones: 1) Tener una longitud de $14$ m. 2) Ser ortogonal al vector $(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,$ m. 3) Formar junto a los vectores $\,\vec{\imath}\,\,$ m y $\,\vec{k}\,$ m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³ ==Solución== Exigiremos a un vector genérico $\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\…»$

2024-01-08T17:36:12Z

Página creada con «==Enunciado== Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones: 1) Tener una longitud de <math>14</math> m. 2) Ser ortogonal al vector <math>(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,</math> m. 3) Formar junto a los vectores <math>\,\vec{\imath}\,\,</math> m y <math>\,\vec{k}\,</math> m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³ ==Solución== Exigiremos a un vector genérico <math>\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\…»

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==Enunciado==
Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de <math>14</math> m.

2) Ser ortogonal al vector <math>(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,</math> m.

3) Formar junto a los vectores <math>\,\vec{\imath}\,\,</math> m y
<math>\,\vec{k}\,</math> m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³

==Solución==
Exigiremos a un vector genérico <math>\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}\,</math> las tres condiciones dadas. Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI).

La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de <math>\vec{a}</math> debe ser:

<center><math>a_x^2+a_y^2+a_z^2=(14)^2=196\,\,\,\,\,\,\,\, (1)</math></center>

La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:

<center><math>(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(3\,\vec{\imath}+\vec{k})=3a_x+a_z=0\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_z=-3a_x\,\,\,\,\,\,\,\, (2)</math></center>

El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:

<center><math>\left|(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(\vec{\imath}\wedge\vec{k})\right|=|a_y|=6\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_y=\pm\, 6\,\,\,\,\,\,\,\, (3)</math></center>

Sustituyendo (2) y (3) en (1) y resolviendo la ecuación resultante, se obtienen dos soluciones para <math>a_x\,</math>. Y a cada una de esas dos soluciones de <math>a_x\,</math> le corresponde mediante (2) una solución en <math>a_z\,</math>:

<center><math>a_x^2+36+9a_x^2=196\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,10\,a_x^2=160\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,a_x^2=16\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} a_x= 4 \,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_z=-12 \\ a_x= -4 \,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_z=12\end{array}\right.</math></center>

Atendiendo a la duplicidad de signo en la solución obtenida para la componente <math>a_y\,</math> en (3), podemos finalmente concluir que existen cuatro vectores que satisfacen las tres condiciones dadas, a saber:

<center><math>(4\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}-12\,\vec{k})\,\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(4\,\vec{\imath}-6\,\vec{\jmath}-12\,\vec{k})\,\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(-4\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}+12\,\vec{k})\,\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
(-4\,\vec{\imath}-6\,\vec{\jmath}+12\,\vec{k})\,\,\mathrm{m}</math></center>

[[Categoría:Problemas de Vectores Libres (GITI)|6]]

Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11) - Historial de revisiones