Pedro: Página creada con «==Enunciado== 250px La barra homogénea de la figura tiene peso $P$ y se halla en equilibrio, si bien en situación de "deslizamiento inminentei", como consecuencia de haber quedado encajada entre los soportes puntuales $A$ (contacto rugoso de coeficiente de rozamiento estático $\mu$ ) y $B$ (contacto liso). Conocidos el ángulo $\alpha$ de inclinación de la b…»

2023-11-27T15:25:58Z

Página creada con «==Enunciado== right|250px La barra homogénea de la figura tiene peso <math>P</math> y se halla en equilibrio, si bien en situación de "deslizamiento inminentei", como consecuencia de haber quedado encajada entre los soportes puntuales <math>A</math> (contacto rugoso de coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>) y <math>B</math> (contacto liso). Conocidos el ángulo <math>\alpha</math> de inclinación de la b…»

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==Enunciado==
[[Imagen:F1_GIA_varilla_dos_puntos_rugoso.png|right|250px]]
La barra homogénea de la figura tiene peso <math>P</math> y se halla en equilibrio, si bien en situación de "deslizamiento inminentei", como consecuencia de haber quedado encajada entre los soportes puntuales <math>A</math> (contacto rugoso de coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>) y <math>B</math> (contacto liso). Conocidos el ángulo <math>\alpha</math> de inclinación de la barra con respecto a la horizontal, así como la distancia <math>d</math> que separa a los dos soportes puntuales, se pide:
#Desvincular razonadamente la barra ("diagrama de sólido libre")
#Determinar la distancia <math>(x_A-x_G</math>) entre el centro de gravedad <math>G</math> de la barra y el soporte puntual <math>A</math>.
#Calcular las reacciones vinculares ejercidas sobre la barra por los soportes puntuales <math>A</math> y <math>B</math>.

== Solución==

===Diagrama de sólido libre===
[[Imagen:F1_GIA_varilla_dos_puntos_rugoso_fuerzas.png|right]]
El contacto en <math>B</math> es liso, por lo que la fuerza de reacción es
perpendicular a la varilla. Por otro lado, el contacto en <math>A</math> es
rugoso, por lo que la fuerza de reacción tiene una componente normal y
una tangencial a la varilla. Las expresiones de las fuerzas en el
sistema de ejes propuesto es
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = -P\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}-P\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\ \\
\vec{\Phi}^A = f^A\,\vec{\imath}+N^A\,\vec{\jmath}\\ \\
\vec{\Phi}^B = N^B\,\vec{\jmath}
\end{array}
</math></center>
No imponemos el signo de las fuerzas, sino que vendrá dado por el
cálculo. La figura muestra la desvinculación de la varilla.

===Equilibrio mecánico===
Las condiciones de equilibrio son que la resultante y el
momento resultante en cualquier punto del sistema de fuerzas
que actúan sobre la varilla deben ser ambos nulos.
De la suma de fuerzas obtenemos
<center><math>
\vec{P}+\vec{\Phi}^A+\vec{\Phi}^B =\vec{0}\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
f^A = P\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ \\
N^A + N^B = P\cos\alpha
\end{array}
\right.
</math></center>
Escogemos el punto <math>G</math> para calcular el momento. Vamos a
llamar <math>h=x_A-x_G</math>. Tenemos
<center><math>
\begin{array}{rl}
\overrightarrow{GA}\times\vec{\Phi}^A&+\overrightarrow{GB}\times\vec{\Phi}^B=\vec{0}
\\
&\overrightarrow{GA}\times\vec{\Phi}^A =
(h\,\vec{\imath})\times(f^A\,\vec{\imath}+N^A\,\vec{\jmath})=h\,N^A,\vec{k}\\
&\overrightarrow{AB}\times\vec{\Phi}^B = [(d+h)\,\vec{\imath}]\times(N^B\,\vec{\jmath})=
(d+h)\,N^B\,\vec{k}
\end{array}
</math></center>
La suma debe ser cero por lo que obtenemos
<center><math>
h\,N^A + (d+h)\,N^B = 0
</math></center>
Junto con las dos ecuaciones anteriores obtenemos los
valores de las f.r.v. en los puntos <math>A</math> y <math>B</math>
<center><math>
\left.
\begin{array}{l}
f^A = P\,\mathrm{sen}\,\alpha\\ \\
N^A = P\cos\alpha\left(1+\dfrac{h}{d}\right)\\ \\
N^B = -\dfrac{h}{d}P\cos\alpha
\end{array}
\right.
</math></center>
Para que haya equilibrio frente a deslizamiento <math>f^A</math> debe
ser capaz de alcanzar el valor obtenido aquí. Pero el valor
de <math>f^A</math> está limitado por el coeficiente de rozamiento.
Para que haya equilibrio debe cumplirse que
<center><math>
|f^A|\leq \mu|N^A|
</math></center>
El problema nos dice que estamos en condiciones de
deslizamiento inminente. En este caso límite tenemos
<center><math>
|f^A|=\mu|N^A|
</math></center>
Aplicando esta condición llegamos a
<center><math>
\,\mathrm{sen}\,\alpha = \mu\cos\alpha\left(1+\dfrac{h}{d}\right)
</math></center>
A partir de aquí podemos obtener la distancia <math>h</math> en función
de los otros parámetros
<center><math>
h= x_A-x_G=d\left(\dfrac{\tan\alpha}{\mu}-1\right)
</math></center>

[[Categoría: Problemas de Estática]]
[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]

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