Pedro: Página creada con «==Enunciado== right Los puntos $O$ , $A$ , $B$ y $C$ son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud $\lambda$ . A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres: $\begin{array}{lllll} \vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\over…»$

2023-09-26T09:40:41Z

Página creada con «==Enunciado== right Los puntos <math>O</math>, <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math> son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud <math>\lambda</math>. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres: <center> <math> \begin{array}{lllll} \vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\over…»

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==Enunciado==
[[Imagen:F1_GIA_b02_p08_a.png|right]]
Los puntos <math>O</math>, <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math> son los vértices del tetraedro
regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud
<math>\lambda</math>. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los
siguientes vectores libres:

<center>
<math>
\begin{array}{lllll}
\vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\overrightarrow{BO}\\
\vec{\omega}_4=\overrightarrow{OC} && \vec{\omega}_5=\overrightarrow{AC} && \vec{\omega}_6=\overrightarrow{BC}
\end{array}
</math>
</center>

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de
referencia cartesiano <math>OXYZ</math>, tal que la cara <math>OAB</math> del tetraedro
está contenida en el plano <math>OXY</math>, y el vértice <math>B</math> es un punto del
eje <math>OY</math> (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra
Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del
tetraedro.

== Solución ==
De la figura podemos obtener las coordenadas de los puntos <math>O</math> y <math>B</math>,
<center><math>
O(0,0,0),\,\,\,\,B(0,\lambda,0)
</math></center>

[[Imagen:F1_GIA_b02_p08_b.png|right]]
Para averiguar las coordenadas del punto <math>A</math> nos fijamos en el
dibujo. Las caras del tetraedro son triángulos equiláteros, por los
cual sus ángulos son todos <math>\pi/3</math>. Expresado en la base cartesiana
asociada al triedro, el vector <math>\vec{\omega}_1</math> es
<center><math>
\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_1 &= \lambda\,\mathrm{sen}\,{(\pi/3)}\vec{\imath} +
\lambda\cos{(\pi/3)}\vec{\jmath} \\
&= \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}\vec{\imath} + \dfrac{\lambda}{2}\vec{\jmath}
\end{array}
</math></center>
y las coordenadas del punto <math>A</math> son
<center><math>
A(\dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2},\dfrac{\lambda}{2},0)
</math></center>
Las componentes de los vectores <math>\vec{\omega}_1</math> y <math>\vec{\omega}_3</math> son
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_1 = \overrightarrow{OA} = \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}\vec{\imath} + \dfrac{\lambda}{2}\vec{\jmath}\\
\vec{\omega}_3 = \overrightarrow{BO} = -\vec{\jmath}\\
\end{array}
</math></center>

Las coordenadas del punto <math>C(x,y,z)</math> pueden obtenerse calculando el vector
<math>\vec{\omega}_4=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}</math>. De este vector conocemos su módulo
<center><math>
|\vec{\omega}_4|^2 = x^2+y^2+z^2 = \lambda^2
</math></center>
Como las caras son triángulos equiláteros, todos los ángulos entre las
aristas son de <math>\pi/3</math>, por lo cual también conocemos los productos
escalares con los vectores <math>\vec{\omega}_1</math> y <math>\vec{\omega}_3</math>
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_4\cdot\vec{\omega}_1 = \lambda^2\cos(\pi/3) = \lambda^2/2\\
\vec{\omega}_4\cdot(-\vec{\omega}_3) = -\lambda^2\cos(\pi/3) = -\lambda^2/2
\end{array}
</math></center>
Por otro lado podemos expresar estos productos escalares en función de
las componentes de los vectores
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_4\cdot\vec{\omega}_1 = \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}x + \dfrac{\lambda}{2}y\\
\vec{\omega}_4\cdot(-\vec{\omega}_3) = -\lambda y
\end{array}
</math></center>
Estas expresiones nos proporcionan tres ecuaciones con tres incógnitas
<center><math>
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 + z^2 = \lambda^2\\ \\
\dfrac{\lambda^2}{2} = \dfrac{\lambda\sqrt{3}}{2}x +\dfrac{\lambda}{2}y\\ \\
-\dfrac{\lambda^2}{2} = -\lambda y
\end{array}
</math></center>
Resolviéndolo obtenemos las coordenadas de <math>C</math>
<center><math>
C\left(\dfrac{\lambda\sqrt{3}}{6},\dfrac{\lambda}{2},\dfrac{\lambda\sqrt{6}}{3}\right)
</math></center>
Hay que señalar que hemos descartado la otra solución de la primera
ecuación <math>z=-\lambda\sqrt{6}/3</math>. Este caso
representa un tetraedro simétrico al del dibujo
respecto al plano <math>OXY</math>, es decir, con el vértice <math>C</math> por debajo del plano.

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