Pedro en 12:11 29 nov 2023

2023-11-29T12:11:23Z

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	</math>		</math>
	</center>		</center>
			[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
			[[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]

Pedro en 09:42 29 nov 2023

2023-11-29T09:42:58Z

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Pedro en 08:37 29 nov 2023

2023-11-29T08:37:52Z

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Línea 172:		Línea 172:

	== Resolución usando el Principio de liberación ==		== Resolución usando el Principio de liberación ==
	[[Archivo:TricicloFuerzasVinculares.png\|sinmarco]]		[[Archivo:TricicloFuerzasVinculares.png\|sinmarco\|right]]
			De nuevo vamos a trabajar con las tres coordenadas <math>\{ x, y, \theta \}, </math> aunque sólo haya un grado de libertad. Por cada vínculo liberado hay que añadir una reacción vincular. El vínculo en <math>A </math> implica que el punto <math>A </math> no puede moverse dirección perpendicular al vector <math>\overrightarrow{AB} </math>. Por tanto, la fuerza víncular que hay que añadir, <math>\vec{A} </math> es perpendicular a <math>\overrightarrow{AB} </math>. El vínculo en <math>B </math> prohíbe que este punto se mueva en la dirección del eje <math>O_1Y_1 </math>. Es decir, la fuerza vincular <math>\vec{B} </math> debe ser paralela al eje <math>O_1Y_1 </math>, en la dirección del movimiento prohibido. La figura de la derecha muestra las fuerzas vinculares. Tenemos
			<center>
			<math>
			\begin{array}{l}
			\vec{A} = -A\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + A\cos\theta\,\vec{\jmath}_1, \\
			\vec{B} = B\,\vec{\jmath}_1.
			\end{array}
			</math>
			</center>
			Ahora las ecuaciones de Lagrange incluyen la contribución de las fuerza vínculares <math>\vec{A} </math> y <math>\vec{B} </math>. Tenemos
			<center>
			<math>
			\begin{array}{lcl}
			\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial x} & = &
			Q_x^{NC},
			\\
			\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial y} & = & Q_y^{NC},
			\\
			\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial \theta} & = &
			Q_{\theta}^{NC}.
			\end{array}
			</math>
			</center>
			El lado izquierdo de estas ecuaciones es igual que el que hemos calculado antes. Lo que cambia son los lados derechos. Para <math>Q^{NC}_x </math> tenemos
			<center>
			<math>
			Q^{NC}_x = \vec{A}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial \dot{x}}
			+
			\vec{B}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}_{21}}{\partial \dot{x}}
			</math>
			</center>

Pedro en 15:58 28 nov 2023

2023-11-28T15:58:25Z

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Línea 1:		Línea 1:
	~~[[Archivo:TricicloFuerzasVinculares.png\|sinmarco]]~~
	= Enunciado =		= Enunciado =
	[[Archivo:TricicloMR.png\|sinmarco\|derecha]]		[[Archivo:TricicloMR.png\|sinmarco\|derecha]]
Línea 173:		Línea 172:

	== Resolución usando el Principio de liberación ==		== Resolución usando el Principio de liberación ==
			[[Archivo:TricicloFuerzasVinculares.png\|sinmarco]]

Pedro: Página creada con «sinmarco = Enunciado = derecha El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea $\overline{AB}$ (sólido "2", masa $m$ , longitud $l=2a$ , centro de masas $G$ ) contenida en el plano horizontal $OX_1Y_1$ y obligada a moverse de modo que su extremo $A$ tiene una velocidad…»

2023-11-28T15:58:03Z

Página creada con «sinmarco = Enunciado = sinmarco|derecha El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea <math>\overline{AB}</math> (sólido "2", masa <math>m</math>, longitud <math>l=2a</math>, centro de masas <math>G</math>) contenida en el plano horizontal <math>OX_1Y_1</math> y obligada a moverse de modo que su extremo <math>A</math> tiene una velocidad…»

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[[Archivo:TricicloFuerzasVinculares.png|sinmarco]]
= Enunciado =
[[Archivo:TricicloMR.png|sinmarco|derecha]]
El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea
<math>\overline{AB}</math> (sólido "2", masa <math>m</math>, longitud <math>l=2a</math>, centro de masas <math>G</math>) contenida en el plano horizontal <math>OX_1Y_1</math> y obligada a moverse de modo que su extremo <math>A</math> tiene una velocidad apuntando a <math>B</math>, mientras que la velocidad de <math>B</math> se mantiene siempre paralela al eje <math>OX_1</math>. Se propone trabajar con las coordenadas generalizadas <math>\{x, y, \theta\}</math> indicadas en la figura.
# Demuestra que las condiciones de movimiento implican las siguientes ecuaciones de ligadura para los puntos <math>A</math> y <math>B</math>: <math>\{a_1\sen\theta\dot{x} + a_2\cos\theta\dot{y} + a_3\dot{\theta}=0; \, b_1\dot{x} + b_2\dot{y} + b_3\dot{\theta}\cos\theta=0\}</math>, donde <math>\{a_i, b_i\}</math> son constantes a determinar.
# Desarrolla las ecuaciones de Lagrange con ligaduras correspondientes al sistema mecánico.
# Calcula los valores de las fuerzas vinculares <math>\{\vec{A}, \vec{B}\}</math> responsables de las ligaduras del primer apartado en función de los multiplicadores de Lagrange del problema.

= Solución =

== Reducción cinemática ==
El vector rotación es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}.
</math>
</center>
La velocidad en el centro de masas <math> G </math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Ligaduras ==
La ligadura en el punto <math> A </math> implica que la velocidad <math>\vec{v}^{\,A}_{21} </math> tiene que ser paralela al vector <math>\overrightarrow{AB} </math>. Este vector es
<center>
<math>
\overrightarrow{AB} = 2a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2a\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Usando el teorema de Chasles a partir de <math>G </math> la velocidad en <math>A </math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GA} =
(\dot{x} + a\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + (\dot{y} - a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1,
</math>
</center>
donde hemos usado <math>\overrightarrow{GA} = -a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 </math>.

Por tanto la ligadura puede aplicarse exigiendo que
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}
\Longrightarrow
\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0.
</math>
</center>
Esta es una ligadura cinemática no integragble, es decir, es no holónoma.

La ligadura en <math>B </math> implica que
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Usando el teorema de Chasles desde <math>G </math> tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GB} =
(\dot{x} - a\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + (\dot{y} + a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1,
</math>
</center>
donde hemos usado <math>\overrightarrow{GB} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 </math>.

Entonces
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1
\Longrightarrow
\dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0.
</math>
</center>
Esta ligadura es cinemática integrable, es decir es holónoma.

Como hay dos ligaduras y es un movimiento plano, el sistema tiene sólo un grado de libertad.
Lo que es curioso en este problema es, que aunque la ligadura en <math>A </math> es, por si sola, no holónoma, combinada con la ligadura en <math>B </math> sí que se puede integrar. Es decir el problema es holónomo. Sin embargo, esta integración es complicada. Por ello, aunque el sistema puede tiene sólo un grado de libertad, vamos a trabajar con las tres coordenadas <math> \{x, y, \theta \} </math>. Usaremos multiplicadores de Lagrange para poder utlizar las dos coordenadas extras respecto al número de grados de libertad.

== Función de Lagrange ==

=== Energía cinética ===

Modelando el triciclo como una barra de longitud <math>2a </math> y masa <math>m </math>, su energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 =
\dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2.
\qquad (I = ma^2/3)
</math>
</center>
El peso no afecta en este problema, pues el centro de masas del triciclo no cambia de altura. Por tanto podemos escoger como energía potencial
<center>
<math>
U = 0
</math>
</center>
La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2.
</math>
</center>

== Ecuaciones de Lagrange ==

=== Multiplicadores de Lagrange ===
Por cada vínculo hay que añadir un multiplicador de Lagrange. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
g_1 = \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0 & \Longrightarrow & \mu_1.
\\
g_2 = \dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0 & \Longrightarrow & \mu_2.
\end{array}
</math>
</center>

=== Ecuaciones ===
Tenemos una ecuación de Lagrange por cada coordenada. Para <math>x </math> tenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial x} =
\mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{x}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{x}}.
</math>
</center></center>
Las derivadas parciales que introducen los multiplicadores de Lagrange se hacen respecto a la velocidad <math>\dot{x} </math> porque los vínculos son cinemáticos.

La ecuación resultante es
<center>
<math>
m\ddot{x} = \mu_1\,\mathrm{sen}\,\theta \qquad. (1)
</math>
</center>

Hacemos lo mismo para la coordenada <math>y </math>. Tenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial y} =
\mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{y}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{y}}.
</math>
</center></center>
La ecuación resultante es
<center>
<math>
m\ddot{y} = -\mu_1\cos\theta + \mu_2 \qquad. (2)
</math>
</center>

Por último, para la coordenada <math>\theta </math>
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)- \dfrac{\partial L}{\partial \theta} =
\mu_1\,\dfrac{\partial g_1}{\partial \dot{\theta}} + \mu_2\,\dfrac{\partial g_2}{\partial \dot{\theta}}.
</math>
</center></center>
La ecuación resultante es
<center>
<math>
I\ddot{\theta} = \mu_1 a + \mu_2 a\cos\theta \qquad. (3)
</math>
</center>

Tenemos 5 incógnitas <math>\{x, y, \theta. \mu_1, \mu_2 \} </math>. Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta + a\dot{\theta} = 0, & (4) \\
\dot{y} + a\dot{\theta}\cos\theta = 0. & (5)
\end{array}
</math>
</center>

== Resolución usando el Principio de liberación ==

Triciclo (MR G.I.C.) - Historial de revisiones

Pedro en 12:11 29 nov 2023

Pedro en 09:42 29 nov 2023

Pedro en 08:37 29 nov 2023

Pedro en 15:58 28 nov 2023