Triángulo en movimiento helicoidal - Historial de revisiones

Drake en 12:13 28 ene 2024

2024-01-28T12:13:32Z

Drake: /* Aceleración normal */

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Aceleración normal

Pedro: /* Enunciado */

2023-09-25T10:11:59Z

Enunciado

Pedro: /* Enunciado */

2023-09-25T10:11:31Z

Enunciado

Pedro: Página creada con «==Enunciado== right El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos: * Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: $\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t) \vec{k}$ . * El vértice C se mueve describiendo la hélice $\Gamma$
2023-09-25T10:11:06Z

Página creada con «==Enunciado== right El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos: * Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: <math>\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t) \vec{k}</math>. * El vértice C se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</…»

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==Enunciado==
[[Archivo:triangulo-rotante.png|right]]

El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:

* Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: <math>\vec{v}^A =
\vec{v}^B = v(t) \vec{k}</math>.
* El vértice C se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde <math>A</math> y <math>b</math> son constantes conocidas):

<center><math>\vec{r}(\theta)= A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}</math></center>

# Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
# Exprese, en función de los datos del enunciado, la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera.
# Para el caso en que <math>v(t) = v_0\,</math> (cte), y <math>\, b = \pi A</math>, calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria <math>s = s(t)\,</math> con que el punto C describe su trayectoria.

==EIRMD==
El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos

<center><math>\vec{v}^I \parallel \vec{\omega}</math></center>

Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido

<center><math>\vec{v}^B = \vec{v}^A + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}</math></center>

En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que

<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^B \qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>

Esto quiere decir que <math>\vec{\omega}</math> es paralelo a <math>\overrightarrow{AB}</math> y por tanto

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math></center>

Pero esta misma dirección es la de las velocidades de A y B

<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t)\vec{k}\parallel \vec{\omega}=\omega \vec{k}</math></center>

Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.

La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la componente vertical de la velocidad de A o B

<center><math>v_d = v^A=v(t)\,</math></center>

Para determinar el vector velocidad angular del sólido, tendremos en cuenta que

<center><math>\vec{v}^C=\vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v(t)\vec{k} + \omega\vec{k}\times\left(A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}\right)=-\omega A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\omega A\cos\theta\vec{\jmath}+v(t)\vec{k}</math></center>

pero también

<center><math>\vec{v}^C=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=
\left(-A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+A\cos\theta\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\dot{\theta}</math></center>

e igualando componentes en ambas expresiones, se llega a

<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}=\dot{\theta}\vec{k}=\frac{2\pi v(t)}{b}\vec{k}</math></center>

==Aceleración normal==
La aceleración normal de C es igual a

<center><math>\vec{a}^C_n = \frac{(v^C)^2}{R_\kappa}\vec{N}</math></center>

siendo <math>R_{\kappa}</math> el radio de curvatura de la trayectoria.

La celeridad de una partícula en un movimiento helicoidal de un sólido es

<center><math>v^C = \sqrt{v_d^2 + \omega^2d^2}</math></center>

siendo <math>d</math> la distancia de la partícula al eje. Esta distancia es igual a <math>A</math> en este caso. Sustituyendo los valores de la velocidad de deslizamiento y la velocidad angular, obtenemos la rapidez

<center><math>v^C = \sqrt{v^2+ \left(\frac{2\pi v}{b}\right)^2A^2} = \frac{v}{b}\sqrt{(2\pi A)^2 + b^2}</math></center>

El [[Cinemática_del_punto_material_(G.I.T.I.)#Helicoidal|radio de curvatura de una hélice]] no es igual a <math>A</math>, el radio del cilindro sobre el que se encuentra, sino que es igual a

<center><math>R_\kappa= A + \frac{b^2}{4\pi^2A}=\frac{(2\pi A)^2+b^2}{(2\pi)^2A}</math></center>

Reuniendo ambos resultados obtenemos el módulo de la aceleración normal de C

<center><math>a^C_n = \frac{((2\pi A)^2 + b^2)(2\pi)^2 Av^2}{b^2((2\pi A)^2 + b^2)}=\frac{(2\pi)^2 A v^2}{b^2}</math></center>

Si deseamos esta aceleración normal en forma vectorial, debemos multiplicar por el vector normal a la trayectoria que, para una hélice, es

<center><math>\vec{N}=-\cos\theta\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}</math></center>

por lo que la aceleración normal es

<center><math>\vec{a}^C_n = -\frac{(2\pi)^2v^2A}{b^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)</math></center>

==Aceleración y ley horaria==
===Aceleración===
Si <math>v(t) = v_0</math> la celeridad del punto C es

<center><math>v^C = \frac{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}{b}\, v_0=\mathrm{cte}</math></center>

y teniendo en cuenta que <math>b=\, \pi A</math>

<center><math>v^C = \sqrt{5}\, v_0=\mathrm{cte}</math></center>

Si la celeridad es constante, el movimiento de C es uniforme y su aceleración tangencial nula

<center><math>\vec{a}^C_t = \frac{\mathrm{d}v^C}{\mathrm{d}t}\vec{T}=\vec{0}</math></center>

y por tanto toda la aceleración es normal, siendo su valor el que ya conocemos

<center><math>\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{4\pi^2v_0^2A}{b^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)</math></center>

y sustituyendo <math>b=\, \pi A</math>

<center><math>\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{4v_0^2}{A}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Ley horaria===
La ley horaria es inmediata, puesto que la celeridad es constante

<center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v^C = \sqrt{5}\,v_0</math>{{tose}}<math>s=s_0+ \sqrt{5}\,v_0 t</math></center>

También podemos dar como ley horaria la variación del parámetro <math>\theta</math> con el tiempo. Utilizando la relación entre <math>\dot{\theta}</math> y <math>v(t)</math> que se obtuvo al determinar la velocidad angular, se tiene

<center><math>\dot{\theta}=\frac{2\pi v_0}{b}=\frac{2v_0}{A}\qquad\Rightarrow\qquad \theta=\theta_0+2\frac{v_0 t}{A}</math></center>

cumpliéndose la relación

<center><math>s = \frac{\sqrt{5}\, A}{2}\,\theta</math></center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]