Pedro: Página creada con «== Enunciado == La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria $\vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath}$ Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento e…»

2023-09-27T10:57:46Z

Página creada con «== Enunciado == La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria <center> <math> \vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath} </math> </center> Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento e…»

Página nueva

== Enunciado ==
La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria
<center>
<math>
\vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento elemental <math>\mathrm{d}\vec{r}</math>? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar al punto medio de la trayectoria?. ¿Y al punto final? Describe cualitativamente la evolución temporal de la posición de la partícula.

== Solución ==
El vector velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo el vector de posición. Como viene dado en una
base cartesiana, tenemos
<center><math>
\vec{v}(t) = \frac{\displaystyle\mathrm{d}\vec{r}}{\displaystyle\mathrm{d}t} = \dot{\vec{r}}(t) =
\dot{x}(t)\,\vec{\imath}+\dot{y}(t)\,\vec{\jmath}=
-\dfrac{4AT^2t}{(T^2+t^2)^2}\vec{\imath}+\dfrac{2AT(T^2-t^2)}{(T^2+t^2)^2}\vec{\jmath}
</math></center>

=== Aceleración ===
La aceleración es a su vez la derivada respecto al tiempo del vector velocidad
<center><math>
\vec{a}(t) = \dot{v}_x(t)\,\vec{\imath}+ \dot{v}_y(t)\,\vec{\jmath} =
\ddot{x}(t)\,\vec{\imath} + \ddot{y}(t)\,\vec{\jmath}=
-\dfrac{4AT^2(T^2-3t^2)}{(T^2+t^2)^3}\vec{\imath}- \dfrac{4ATt(3T^2-t^2)}{(T^2+t^2)^3}\vec{\jmath}
</math></center>
La aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre la dirección
tangente, es decir, la del vector velocidad
<center><math>
a_T=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = -\dfrac{4ATt}{(T^2+t^2)^2}
</math></center>
La aceleración normal se obtiene a partir de la total y la tangencial
<center><math>
a_N=\sqrt{a^2-a_T^2} = \dfrac{4AT^2}{(T^2+t^2)^2}
</math></center>

===Triedro intrínseco===

Una vez conocidas la velocidad y la aceleración podemos calcular el triedro intrínseco. El vector tangente es
<center><math>
\vec{T} = \dfrac{\vec{v}}{v} =-\dfrac{2Tt}{T^2+t^2}\vec{\imath} + \dfrac{T^2-t^2}{T^2+t^2}\vec{\jmath}
</math></center>
donde el módulo de la velocidad es
<center><math>
|\vec{v}|=v = \frac{2AT}{T^2+t^2}
</math></center>
Obtenemos el vector normal a partir de la aceleración total y tangencial
<center><math>
\vec{a} = a_T\vec{T}+a_N\vec{N}\Rightarrow \vec{N}=\dfrac{\vec{a}-a_T\vec{T}}{a_N}=
\dfrac{t^2-T^2}{T^2+t^2}\vec{\imath}-\dfrac{2tT}{T^2+t^2}\vec{\jmath}
</math></center>
El vector binormal es el producto vectorial de estos dos
<center><math>
\vec{B} = \vec{T}\times\vec{N} = \vec{k}
</math></center>
El hecho de que sea constante indica que la trayectoria es plana.

=== Ecuación de la trayectoria ===
Para encontrar la ecuación de la trayectoria eliminamos el tiempo en la ley horaria,
con el fin de expresar <math>y,z</math> en función de <math>x</math>. Tenemos
<center><math>
\vec{r}(t) =
\left\{
\begin{array}{l}
x = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\\ \\
y = \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\\ \\
z=0
\end{array}
\right.
</math></center>
El hecho de que <math>z=0</math> implica que la trayectoria está en el plano <math>XY</math>. Observando
las ecuaciones de <math>x(t)</math> e <math>y(t)</math> vemos que se cumple
<center><math>
x^2(t) + y^2(t) = \dfrac{A^2(T^4-2T^2t^2+t^4)}{(T^2+t^2)^2}+ \dfrac{4A^2T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}=
\dfrac{A^2(T^4+2T^2t^2+t^4)}{(T^2+t^2)^2} = A^2
</math></center>
[[Imagen:F1_GIA_p03_02_a.png | right]]
Esta curva es una circunferencia contenida en el plano <math>XY</math>, con centro en el
origen y radio <math>A</math>. Sin embargo, si observamos con atención la expresión que da
<math>y(t)</math> vemos que, como el tiempo <math>t</math> es siempre positivo, la coordenada <math>y(t)</math>
nunca es negativa. Así que en realidad el movimiento de la partícula se
circunscribe a la semicircunferencia superior. La ecuación de la trayectoria es
<center><math>
C\equiv
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=A^2 \\ \\ z=0 \\ \\ y\geq0
\end{array}
\right.
</math></center>
La posición inicial de la partícula es
<center><math>
\vec{r}(t=0) = A\vec{\imath}
</math></center>
La velocidad y aceleración iniciales son
<center><math>
\vec{v}(t=0) = \frac{2A}{T}\,\vec{\jmath} \qquad\qquad \vec{a}(t=0) = -\frac{4A}{T^2}\,\vec{\imath}
</math></center>
Es decir, la partícula se desplaza de derecha a izquierda, siguiendo
la semicircunferencia, como se indica en el dibujo.

===Desplazamiento elemental===

El desplazamiento elemental <math>\mathrm{d}\vec{r}</math> se escribe
<center><math>
\mathrm{d}\vec{r}=\left( \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t} \right)\mathrm{d} t=\vec{v}(t)\mathrm{d} t=
-\dfrac{4AT^2t}{(T^2+t^2)^2}\mathrm{d} t\,\vec{\imath}+\dfrac{2AT(T^2-t^2)}{(T^2+t^2)^2}\mathrm{d} t\,\vec{\jmath}
</math></center>

=== Distancia recorrida en función del tiempo ===

El espaciado recorrido por la partícula en un tiempo <math>t</math> es la suma de los
desplazamientos infinitesimales en que dividimos la trayectoria.
Si consideramos que el desplazamiento inicial es cero tenemos
<center><math>
s(t) =\int\limits_{t=0}^t|\mathrm{d}\vec{r}|=
\int\limits_{t=0}^t|\vec{v}|\mathrm{d} t
</math></center>
[[Imagen:F1_GIA_p03_02_b.png | right]]
El módulo de la velocidad es
<center><math>
|\vec{v}|(t)=v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2} = \dfrac{2AT}{T^2+t^2}
</math></center>
Por tanto, el espacio recorrido en un tiempo <math>t</math> es
<center><math>
s(t) = \int\limits_{t=0}^t\dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,\mathrm{d} t=
2A\arctan{(t/T)}
</math></center>

=== Tiempo invertido en llegar al punto medio ===
En el punto medio se tiene
<center><math>
x(T_m)=0\qquad \qquad y(T_m)=A
</math></center>
Obtenemos <math>T_m</math> imponiendo la condición para la coordenada <math>y</math> en la ecuación
horaria
<center><math>
y(T_m)=A\Rightarrow \dfrac{2TT_m}{T^2+T_m^2}=1\Rightarrow
T_m = T
</math></center>
Podemos calcular cuanto tarda en llegar al punto final de la trayectoria. A partir
de la expresión que da el espacio recorrido, en el punto final se tiene
<center><math>
s(T_f) = A\pi\Rightarrow
\dfrac{\pi}{2}=\arctan(T_f/T)
\Rightarrow
T_f=\infty
</math></center>

=== Descripción cualitativa del movimiento ===
La partícula parte del extremo derecho de la circunferencia y se desplaza a lo
largo de ella hacia la izquierda.
[[Imagen:F1_GIA_p03_02_c.png | right]]
En la gráfica se representa el módulo de la velocidad y la aceleración
tangencial. El módulo de la velocidad va disminuyendo, y la partícula
se mueve cada vez más lentamente según se acerca al extremo izquierdo de
la circunferencia. Por eso tarda un tiempo infinito en llegar al punto final.

[[Categoría:Cinemática del punto material|1]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]

Trayectoria de una partícula (G.I.A.) - Historial de revisiones