Transformación Δ-Y (delta-estrella) - Historial de revisiones

Antonio: /* Primer caso */

2025-04-21T22:59:57Z

Primer caso

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Línea 96:		Línea 96:
	y esto nos da la energía		y esto nos da la energía

	<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_1(V_1-V_0)^2+\frac{1}{2}C_2(V_2-V_0)^2+\frac{1}{2}C_3(V_3-V_0)^2= \left(\frac{1}{2}100\cdot 4^2+\frac{1}{2}60\cdot 1^2+\frac{1}{2}40\cdot 6^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_1(V_1-V_0)^2+\frac{1}{2}C_2(V_2-V_0)^2+\frac{1}{2}C_3(V_3-V_0)^2=</math> <math> \left(\frac{1}{2}100\cdot 4^2+\frac{1}{2}60\cdot 1^2+\frac{1}{2}40\cdot 6^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

	===En el segundo caso===		===En el segundo caso===

Antonio: /* Primer caso */

2025-04-21T22:59:31Z

Primer caso

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Línea 88:		Línea 88:
	Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía		Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía

	<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =~~\newline =~~ \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =</math> <math> \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

	Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central		Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

Antonio: /* Primer caso */

2025-04-21T22:59:06Z

Primer caso

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Línea 88:		Línea 88:
	Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía		Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía

	<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =\\ = \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =\newline = \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

	Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central		Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

Antonio: /* Comparación de la energía */

2025-04-21T22:58:53Z

Comparación de la energía

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Línea 88:		Línea 88:
	Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía		Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía

	<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 = \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 =\\ = \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

	Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central		Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

Antonio: /* Delta equivalente a una estrella */

2025-04-21T22:58:33Z

Delta equivalente a una estrella

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Línea 82:		Línea 82:
	y obtenemos		y obtenemos

	<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}} <math> C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}} <math>C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>		<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}}{{qquad}} <math> C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}}{{qquad}} <math>C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>

	==Comparación de la energía==		==Comparación de la energía==

Antonio: /* Delta equivalente a una estrella */

2025-04-21T22:58:05Z

Delta equivalente a una estrella

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Línea 82:		Línea 82:
	y obtenemos		y obtenemos

	<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}</math> <math> C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}</math> <math>C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>		<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}} <math> C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}</math>{{qquad}} <math>C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>

	==Comparación de la energía==		==Comparación de la energía==

Antonio: /* Delta equivalente a una estrella */

2025-04-21T22:57:37Z

Delta equivalente a una estrella

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Línea 82:		Línea 82:
	y obtenemos		y obtenemos

	<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}~~\qquad\qquad~~ C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}~~\qquad\qquad~~ C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>		<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}</math> <math> C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}</math> <math>C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>

	==Comparación de la energía==		==Comparación de la energía==

Antonio: Página creada con «==Enunciado== En la transformación Δ-Y (delta-estrella) se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres condensadores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres condensadores unidos a un nodo central descargado. 800px # Demuestre que dadas las capacidades de la estrella $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ …»

2025-04-21T22:56:30Z

Página creada con «==Enunciado== En la transformación Δ-Y (delta-estrella) se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres condensadores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres condensadores unidos a un nodo central descargado. <center>800px</center> # Demuestre que dadas las capacidades de la estrella <math>C_1</math>, <math>C_2</math> y <math>C_3</math>…»

Página nueva

==Enunciado==
En la transformación Δ-Y (delta-estrella) se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres condensadores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres condensadores unidos a un nodo central descargado.

<center>[[Archivo:circuito-delta-estrella.png|800px]]</center>

# Demuestre que dadas las capacidades de la estrella <math>C_1</math>, <math>C_2</math> y <math>C_3</math>, las capacidades de la delta <math>C_{12}</math>, <math>C_{13}</math> y <math>C_{23}</math> vienen dadas por
<center><math>\begin{array}{ccccc}C_{12}=\dfrac{C_1 C_2}{S}&\qquad& C_{13}=\dfrac{C_1 C_3}{S}&\qquad& C_{23}=\frac{C_2 C_3}{S}\\ &&&& \\
&&S=C_1+C_2+C_3&&\end{array}</math></center>

# Demuestre las relaciones inversas: dadas las capacidades de la delta, <math>C_{12}</math>, <math>C_{13}</math> y <math>C_{23}</math>, las capacidades de la estrella, <math>C_1</math>, <math>C_2</math> y <math>C_3</math>. vienen dadas por

<center><math>\begin{array}{ccccc}C_1=\dfrac{P}{C_{23}}&\qquad& C_2=\dfrac{P}{C_{13}}&\qquad& C_3=\dfrac{P}{C_{12}}\\ &&&& \\
&&P=C_{12} C_{13}+C_{12} C_{23}+C_{13} C_{23}&&\end{array}</math></center>

# Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las capacidades valen <math>C_{12}=20\,\mathrm{nF}</math>, <math>C_{13}=30\,\mathrm{nF}</math>, <math>C_{23}=12\,\mathrm{nF}</math>.
# Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>C_1=100\,\mathrm{pF}</math>, <math>C_2=400\,\mathrm{pF}</math>,<math>C_3=500\,\mathrm{pF}</math>.
# Para los dos apartados anteriores, suponga que <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la energía almacenada y compruebe que se llega al mismo resultado.

==De la estrella a la delta==
Cuando tenemos voltajes <math>V_1</math>, <math>V_2</math> y <math>V_3</math> aplicados en los respectivos nodos, la carga en las placas conectadas al nodo 1 de la delta es

<center><math>Q_1=C_{12}(V_1-V_2)+C_{13}(V_1-V_3)</math></center>

En la estrella, la misma carga es

<center><math>Q_1=C_1(V_1-V_0)</math></center>

siendo <math>V_0</math> el voltaje del nodo central. Para hallar este voltaje observamos que en el conductor central no hay carga (no puede haber llegado de ninguna manera), por lo que

<center><math>C_a(V_0-V_1)+C_2(V_0-V_2)+C_3(V_0-V_3) = 0\qquad\Rightarrow\qquad V_0=\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}</math></center>

Llevamos esto a la expresión de la carga y nos queda

<center><math>Q_1=C_2(V_1-V_0) =C_1\left(V_1-\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}\right)=\frac{C_1C_2(V_1-V_2)+C_1C_3(V_1-V_3)}{S}</math></center>

con

<center><math>S=C_1+C_2+C_3</math></center>

Comparando esta expresión con la correspondiente a la delta obtenemos la equivalencia

<center><math>C_{12}=\dfrac{C_1 C_2}{S}\qquad\qquad C_{13}=\dfrac{C_1 C_3}{S}</math></center>

Si operamos de la misma manera con la carga del conductor 2 obtenemos la equivalencia restante

<center><math>C_{23}=\dfrac{C_2 C_3}{S}</math></center>

==De la estrella a la delta==
Para obtener la relación inversa, debemos despejar <math>C_1</math>, <math>C_2</math> y <math>C_3</math> de las relaciones anteriores, lo que no es trivial.

Comenzamos calculando la cantidad ''P'' definida en el enunciado

<center><math>P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=\frac{C_1^2 C_2 C_3}{S^2}+\frac{C_1 C_2^2 C_3}{S^2}+\frac{C_1 C_2 C_3^2}{S^2}</math></center>

Extraemos aquí factor común

<center><math>P=\frac{C_1C_2C_3(C_1+C_2+C_3)}{S^2}\frac{C_1C_2C_3S}{S^2}=\frac{C_1C_2C_3}{S}</math></center>

y, una vez que tenemos esta identidad queda

<center><math>C_{12}=\dfrac{C_1 C_2}{S}=\frac{P}{C_3}\qquad\Rightarrow\qquad C_3=\frac{P}{C_{12}}</math></center>

y, de la misma manera,

<center><math>C_1=\dfrac{P}{C_{23}}\qquad\qquad C_2=\dfrac{P}{C_{13}}</math></center>

==Estrella equivalente a una delta==
En el caso particular <math>C_{12}=20\,\mathrm{nF}</math>, <math>C_{13}=30\,\mathrm{nF}</math>, <math>C_{23}=12\,\mathrm{nF}</math> tenemos

<center><math>P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=(20\cdot 30 + 20\cdot 12 + 30\cdot 12)\mathrm{nF}^2=1200\,\mathrm{nF}^2</math></center>

lo que nos da las capacidades de la estrella

<center><math>C_1=\frac{P}{C_{23}}=\frac{1200}{12}\,\mathrm{nF}=100\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_2=\frac{1200}{30}\,\mathrm{nF}=40\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_3=\frac{1200}{20}\,\mathrm{nF}=60\,\mathrm{nF}</math></center>

==Delta equivalente a una estrella==
Si tenemos que <math>C_1=100\,\mathrm{pF}</math>, <math>C_2=400\,\mathrm{pF}</math>,<math>C_3=500\,\mathrm{pF}</math> hallamos

<center><math>S=C_1+C_2+C_3=1000\,\mathrm{pF}</math></center>

y obtenemos

<center><math>C_{12}=\frac{C_1C_2}{S}=\frac{100\cdot400}{1000}\,\mathrm{pF}=40\,\mathrm{pF}\qquad\qquad C_{13}=\frac{100\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=50\,\mathrm{pF}\qquad\qquad C_3= \frac{400\cdot500}{1000}\,\mathrm{pF}=200\,\mathrm{pF}</math></center>

==Comparación de la energía==
===Primer caso===
Si nos dan <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>, la delta nos da la energía

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{12}(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2 = \left(\frac{1}{2}20\cdot 5^2+\frac{1}{2}30\cdot 5^2+\frac{1}{2}12\cdot 10^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

<center><math>V_0=\dfrac{C_1V_1+C_2V_2+C_3 V_3}{C_1+C_2+C_3}=\frac{100\cdot 10+40\cdot 5+60\cdot 0}{100+40+60}\,\mathrm{V}=6\,\mathrm{V}</math></center>

y esto nos da la energía

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_1(V_1-V_0)^2+\frac{1}{2}C_2(V_2-V_0)^2+\frac{1}{2}C_3(V_3-V_0)^2= \left(\frac{1}{2}100\cdot 4^2+\frac{1}{2}60\cdot 1^2+\frac{1}{2}40\cdot 6^2\right)\,\mathrm{nJ}=1.9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

===En el segundo caso===
Para la estrella calculamos en primer lugar el voltaje del nodo central

<center><math>V_0=\frac{100\cdot 10+400\cdot 5+500\cdot 0}{100+400+500} = 3\,\mathrm{V}</math></center>

y estpo nos da la energía

<center><math>U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}100\cdot 7^2+\frac{1}{2}400\cdot 2^2+\frac{1}{2}500\cdot 3^2\right)\,\mathrm{pJ}=5.5\,\mathrm{nJ}</math></center>

Empleando la delta equivalente

<center><math>U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}40\cdot 5^2+\frac{1}{2}50\cdot 10^2+\frac{1}{2}200\cdot 5^2\right)\,\mathrm{pJ}=5.5\,\mathrm{nJ}</math></center>