Pedro: Página creada con «== Enunciado == Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v_0$ y un ángulo $\alpha$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria. == Solución == ===Movimiento del proyectil=== El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia co…»

2023-09-27T10:51:18Z

Página creada con «== Enunciado == Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial <math>v_0</math> y un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria. == Solución == ===Movimiento del proyectil=== El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia co…»

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== Enunciado ==
Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial <math>v_0</math> y un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

== Solución ==

===Movimiento del proyectil===

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos
el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje <math>OX</math> sobre la horizontal y el eje <math>OY</math>
vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es
<center><math>
\vec{g} = -g\,\vec{\jmath}
</math></center>
La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es
[[Imagen:F1_GIA_p03_03.png|right]]
<center><math>
\mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}_0\mathrm{d} t\to
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{d} v_x = 0\\
\mathrm{d} v_y = -g\mathrm{d} t\\
\mathrm{d} v_z = 0
\end{array}
\right.
</math></center>
Integrando una vez resulta
<center><math>
\vec{v}(t) =
\left\{
\begin{array}{l}
v_x = v_{x0}\\
v_y = v_{y0}-g t\\
v_z = v_{z0}
\end{array}
\right.
</math></center>
La velocidad inicial es
<center><math>
\vec{v}_0 = \left( v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha,0\right)
</math></center>
Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es
<center><math>
\vec{v}(t) = (v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-g t,0)
</math></center>
Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la
ecuación
<center><math>
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}(t)\mathrm{d} t\to
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{d} x = v_x(t)\mathrm{d} t = v_{x0}\,\mathrm{d} t\\
\mathrm{d} y = v_y(t)\mathrm{d} t= (v_{y0} - g t)\,\mathrm{d} t\\
\mathrm{d} z = v_z(t)\mathrm{d} t= 0
\end{array}
\right.
</math></center>
Integrando obtenemos
<center><math>
\vec{r}(t) =
\left\{
\begin{array}{l}
x = v_{x0}\,t\\
y = v_{y0}\,t-\dfrac{1}{2}gt^2\\
z = 0
\end{array}
\right.
</math></center>
Hemos supuesto que el movimiento parte del origen del sistema de
referencia.

El punto de máxima altura se obtiene cuando la velocidad vertical se
anula. Igualando a cero la velocidad <math>v_y(t)</math>
obtenemos
<center><math>
T_m = \dfrac{v_{y0}}{g}=\dfrac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}
</math></center>
En este instante la velocidad y la aceleración son perpendiculares, es
decir, la aceleración es
<center><math>
\vec{a} = a_N(T_m)\vec{N} = -g\vec{\jmath} = \dfrac{v^2}{R_{\kappa}}\vec{\jmath}.
</math></center>
Por tanto el radio de curvatura es
<center><math>
R_{\kappa} = \left|\dfrac{v^2}{a_N}\right| = \dfrac{v_{0x}^2}{g} =
\dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}.
</math></center>

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