Pedro: /* Solución */

2023-09-26T09:47:43Z

Solución

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	== Solución ==		== Solución ==
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	Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices		Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
	<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados		<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados

Pedro: /* Solución */

2023-09-26T09:46:13Z

Solución

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	== Solución ==		== Solución ==
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	[[Imagen:~~F1_GIA_b02_p07~~.png\|right]]
	Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices		Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
	<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados		<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados

Pedro: Página creada con «== Enunciado == Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos. == Solución == right Dado el triángulo de la figura, con lados $a$ , $b$ y $c$ y vértices $A$ , $B$ y $C$ , el teorema del seno relaciona la longitud de los lados con los senos de los vértices opuestos: $\frac{a}{\,\mathrm{sen}\,…»$

2023-09-26T09:35:01Z

Página creada con «== Enunciado == Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos. == Solución == right Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados con los senos de los vértices opuestos: <center><math> \frac{a}{\,\mathrm{sen}\,…»

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== Enunciado ==
Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

== Solución ==

[[Imagen:F1_GIA_b02_p07.png|right]]
Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
con los senos de los vértices opuestos:
<center><math>
\frac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}} = \frac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}} = \frac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}
</math></center>
El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud
de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
<center><math>
\begin{array}{l}
a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\hat{A}}\\ \\
b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\hat{B}}\\ \\
c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\hat{C}}
\end{array}
</math></center>

===Teorema del coseno===
Consideramos los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{BC}</math>. Se
tiene
<center><math>
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
</math></center>
La longitud del lado es <math>a=|\overrightarrow{BC}|</math>, por tanto
<center><math>
\begin{array}{ll}
a^2& = |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2 =
|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 -2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
&= b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\hat{A}}
\end{array}
</math></center>
pues el ángulo entre <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{AB}</math> es precisamente el del
vértice <math>A</math>.
Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.

===Teorema del seno===
Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de <math>\overrightarrow{BC}</math> por si mismo. Tenemos
<center><math>
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}=\overrightarrow{BC}\times(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
\Longrightarrow
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}
</math></center>
Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
<center>
<math>
\begin{array}{lll}
&|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|& \\
&|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AC}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
&a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
& b \,\mathrm{sen}\,{C} = c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
&\frac{\displaystyle b}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}}}
\end{array}
</math>
</center>
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.

Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
<center><math>
|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|
</math></center>

[[Categoría:Vectores libres|0]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
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