Drake: Página creada con «==Enunciado== right Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno $c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)$ y del seno $\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}$ en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $\alpha$ , $\beta$ …»

2024-01-08T17:16:05Z

Página creada con «==Enunciado== right Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno <center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)</math></center> y del seno <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center> en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>…»

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==Enunciado==
[[Archivo:Ejemplo_triangulo.png|right]]

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

<center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)</math></center>

y del seno

<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}</math></center>

en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>.

==Teorema del coseno==
[[Archivo:Ejemplo-triangulo-02.png|right]]

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

<center><math>\vec{a}= \vec{b} + \vec{c}</math></center>

o, equivalentemente

<center><math>\vec{a}- \vec{b} = \vec{c}</math></center>

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

<center><math>(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center>

Desarrollando el producto escalar

<center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2</math></center>

El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es <math>\gamma</math> por lo que finalmente obtenemos

<center><math>a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2</math></center>

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

==Teorema del seno==
El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

<center><math>A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|</math></center>

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

<center><math>A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,\gamma}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,\beta}{2}</math></center>

Dividiendo por el producto <math>abc</math> y multiplicando por 2 nos queda

<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}</math></center>

que es el teorema del seno.

[[Categoría:Problemas de Vectores Libres (GITI)]]

Teoremas del seno y del coseno - Historial de revisiones