Pedro: Página creada con «==Enunciado del teorema== El campo de velocidades de un sólido, cumple la condición de rigidez $\vec{v}_i\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=\vec{v}_k\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)$ si y solo si es de la forma $\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}$ esto es, se compone de una traslación y una rotación (que pueden ser nulas). Este es el conocido como ''Teorema de Chasles''. ==Ver…»

2023-11-14T09:37:59Z

Página creada con «==Enunciado del teorema== El campo de velocidades de un sólido, cumple la condición de rigidez <center><math>\vec{v}_i\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=\vec{v}_k\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)</math></center> si y solo si es de la forma <center><math>\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center> esto es, se compone de una traslación y una rotación (que pueden ser nulas). Este es el conocido como ''Teorema de Chasles''. ==Ver…»

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==Enunciado del teorema==
El campo de velocidades de un sólido, cumple la condición de rigidez

<center><math>\vec{v}_i\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=\vec{v}_k\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)</math></center>

si y solo si es de la forma

<center><math>\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

esto es, se compone de una traslación y una rotación (que pueden ser nulas). Este es el conocido como ''Teorema de Chasles''.

==Verificación de la condición de rigidez==
La demostración de que si el campo de velocidades es de la forma indicada, entonces cumple la condición de rigidez es bastante elemental. Si para todo <math>\vec{r}</math> se cumple

<center><math>\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

entonces, para dos puntos cualesquiera se verifica

<center><math>\vec{v}(\vec{r}_2)=\vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_2</math>{{qquad}}<math>\vec{v}(\vec{r}_1)=\vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_2</math></center>

Restando

<center><math>\vec{v}(\vec{r}_2)-\vec{v}(\vec{r}_1)=\vec{\omega}\times\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)</math></center>

El segundo miembro es ortogonal a <math>\vec{r}_2-\vec{r}_1</math>, por lo que

<center><math>\left(\vec{v}(\vec{r}_2)-\vec{v}(\vec{r}_1)\right)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)=0</math></center>

y separando los términos

<center><math>\vec{v}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)=\vec{v}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)</math></center>

esto es, el campo de velocidades es equiproyectivo y cumple la condición de rigidez.

==Deducción de la forma del campo==
Más complicado es el recíproco: que si verifica la condición cinemática de rigidez, la forma general del campo de velocidades es la indicada.

La condición cinemática de rigidez equivale a la equiproyectividad del campo de velocidades: para cualesquiera dos puntos <math>\vec{r}_1</math> y <math>\vec{r}_2</math> se verifica

<center><math>\vec{v}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{v}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)</math></center>

se trata de demostrar que si se cumple esta condición, <math>\vec{v}(\vec{r})</math> puede escribirse en la forma

<center><math>\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto <math>\vec{0}</math> y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios <math>\vec{\imath}</math>, <math>\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{k}</math>.

===Velocidad relativa al origen===
Definamos en primer lugar el campo de velocidades, también equiproyectivo

<center><math>\vec{u}(\vec{r}) = \vec{v}(\vec{r})-\vec{v}(\vec{0})</math></center>

que representa la velocidad medida por un sistema que se mueve con la misma velocidad que el origen de coordenadas.

Este campo cumple

<center><math>\vec{u}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{u}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{0})=\vec{0}</math></center>

===Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen===
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de <math>\vec{u}</math> a los dos puntos <math>\vec{r}_1=\vec{\imath}</math> y <math>\vec{r}_2=\vec{0}</math> nos queda

<center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\vec{\imath} = \vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{\imath} = 0</math></center>

esto quiere decir que la velocidad <math>\vec{u}(\vec{\imath})</math> es ortogonal al vector de posición <math>\vec{\imath}</math>, esto es, no posee componente <math>X</math> y puede escribirse como

<center><math>\vec{u}(\vec{\imath}) = a\vec{\jmath} + b\vec{k}</math></center>

Aplicando el mismo razonamiento a <math>\vec{\jmath}</math> y a <math>\vec{k}</math> nos queda

<center><math>\vec{u}(\vec{\jmath}) = c\vec{\imath} + d\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{k}) = e\vec{\imath} + f\vec{\jmath}</math></center>

===Equiproyectividad aplicada a pares de vectores de la base===

La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos <math>\vec{\imath}</math> y <math>\vec{\jmath}</math>. En este caso tenemos

<center><math>\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math>{{tose}}<math>-a = c\,</math></center>

Operando igualmente con los otros dos pares nos queda

<center><math>-b = e\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>-d = f\,</math></center>

Si llamamos

<center><math>\omega_x = d = -f\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\omega_y = e = -b\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\omega_z = a = -c\,</math></center>

el valor de <math>\vec{u}</math> en <math>\vec{\imath}</math>, <math>\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{k}</math> se escribe

<center><math>\vec{u}(\vec{\imath}) = \omega_z\vec{\jmath}-\omega_y\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}</math></center>

===Aplicación a un punto genérico===
Si ahora aplicamos la condición de equiproyectividad a un punto cualquiera

<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}</math>{{qquad}}<math>\vec{u}(\vec{r})=u_x\vec{\imath}+u_y\vec{\jmath}+u_z\vec{k}</math></center>

y al origen nos queda

<center><math>\vec{u}(\vec{r})\cdot\vec{r}=\vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{r}= 0</math></center>

esto es, que la velocidad (relativa al origen) en cada punto es ortogonal al vector de posición de dicho punto.

Si ahora aplicamos la condición al mismo punto <math>\vec{r}</math> y al punto <math>\vec{\imath}</math> tenemos

<center><math>\vec{u}(\vec{r})\cdot\left(\vec{r}-\vec{\imath}\right)=\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{r}-\vec{\imath}\right)</math>{{tose}}
<math>-u_x=\omega_zy-\omega_yz\,</math></center>

y aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base

<center><math>-u_y=-\omega_zx-\omega_xz\,</math>{{qquad}}<math>-u_z=\omega_yx-\omega_xy\,</math></center>

esto es

<center><math>\vec{u}(\vec{r}) = \left(\omega_yz-\omega_zy\right)\vec{\imath}+\left(\omega_zx-\omega_xz\right)\vec{\jmath}+\left(\omega_xy-\omega_yx\right)\vec{k}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ x & y & z\end{matrix}\right|=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

y volviendo a nuestro campo de velocidades original, <math>\vec{v}</math>

<center><math>\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}(\vec{0}) +\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>

con lo que se completa la demostración del teorema de Chasles.

[[Categoría:Cinemática del sólido rígido]]

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