Antonio: Página creada con «==Ángulos== ===Definición=== Archivo:definicion-angulo.png ===Complementario y suplementario=== ;Complementario: Archivo:complementario.png ;Suplementario: Archivo:suplementario.png ===Opuestos por el vértice y alternos=== Archivo:opuestos-vertice.png ===Rotación de ejes=== ;Mismo origen: Archivo:ejes-girados-01.png ;Diferente origen: Archivo:ejes-girados-02.png ==Definiciones== ===Geométrica=== :Archivo:triangulo-rectangulo.png…»

2023-09-21T11:13:37Z

Página creada con «==Ángulos== ===Definición=== Archivo:definicion-angulo.png ===Complementario y suplementario=== ;Complementario: Archivo:complementario.png ;Suplementario: Archivo:suplementario.png ===Opuestos por el vértice y alternos=== Archivo:opuestos-vertice.png ===Rotación de ejes=== ;Mismo origen: Archivo:ejes-girados-01.png ;Diferente origen: Archivo:ejes-girados-02.png ==Definiciones== ===Geométrica=== :Archivo:triangulo-rectangulo.png…»

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==Ángulos==
===Definición===
[[Archivo:definicion-angulo.png]]

===Complementario y suplementario===
;Complementario:
[[Archivo:complementario.png]]
;Suplementario:
[[Archivo:suplementario.png]]

===Opuestos por el vértice y alternos===

[[Archivo:opuestos-vertice.png]]

===Rotación de ejes===
;Mismo origen:
[[Archivo:ejes-girados-01.png]]
;Diferente origen:
[[Archivo:ejes-girados-02.png]]

==Definiciones==
===Geométrica===

:[[Archivo:triangulo-rectangulo.png]]

;Coseno:
:<math>\cos(x)=\frac{a}{r}</math>
;Seno:
:<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{b}{r}</math>

===Analítica===
El argumento <math>x</math> debe estar expresado en radianes

:<math>\cos(x) = 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots</math>

:<math>\mathrm{sen}(x) = x -\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots</math>

===Exponenciales complejas===
:(<math>\mathrm{j}=\sqrt{-1}</math>)

:<math>\cos(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2}</math>

:<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}x}}{2\mathrm{j}}</math>

===Funciones adicionales===

:[[Archivo:triangulo-rectangulo.png]]

;Tangente:<math>\mathrm{tg}(x) = \frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)} = \frac{b}{a}</math>

;Cotangente:<math>\mathrm{cotg}(x) = \frac{\cos(x)}{\mathrm{sen}(x)} = \frac{1}{\mathrm{tg}(x)}=\frac{a}{b}</math>

;Secante:<math>\mathrm{sec}(x) = \frac{1}{\cos(x)}=\frac{r}{a}</math>

;Cosecante:<math>\mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{b}</math>

===En la circunferencia unidad===

[[Archivo:razones-trigonometricas.png]]

==Gráficas desde −π a π==

;Seno y coseno:

:[[Archivo:graf-seno-coseno.png]]

;Tangente y cotangente

:[[Archivo:graf-tg-cotg.png]]

;Secante y cosecante

:[[Archivo:graf-sec-cosec.png]]

==Relaciones entre funciones==
===Identidades básicas===

:<math>\cos^2(x) + \mathrm{sen}^2(x) = 1\,</math>

:<math>1 + \mathrm{tg}^2(x) = \mathrm{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}\,</math>

:<math>\mathrm{cotg}^2(x) +1= \mathrm{cosec}^2(x)=\frac{1}{\mathrm{sen}^2(x)}\,</math>

===En función de la tangente===

: <math>u = \mathrm{tg}(x)\,</math>

:<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}</math>

:<math>\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}</math>

===En función de la tangente del ángulo mitad===

:<math>u = \mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\,</math>

:<math>\mathrm{sen}(x) = \frac{2u}{1+u^2}</math>

:<math>\cos(x) = \frac{1-u^2}{1+u^2}</math>

:<math>\mathrm{tg}(x) = \frac{2u}{1-u^2}</math>

==Tabla de valores particulares==

{| class="bordeado"
|-
! °
! rad
! sen
! cos
! tg
|-
| <math>0\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\sqrt{0}/2 = 0</math>
| <math>1\,</math>
| <math>0\,</math>
|-
| <math>30\,</math>
| <math>\pi/6\,</math>
| <math>\sqrt{1}/2 = 1/2\,</math>
| <math>\sqrt{3}/2</math>
| <math>1/\sqrt{3}</math>
|-
| <math>45\,</math>
| <math>\pi/4\,</math>
| <math>\sqrt{2}/2</math>
| <math>\sqrt{2}/2</math>
| <math>1\,</math>
|-
| <math>60\,</math>
| <math>\pi/3\,</math>
| <math>\sqrt{3}/2</math>
| <math>1/2\,</math>
| <math>\sqrt{3}</math>
|-
| <math>90\,</math>
| <math>\pi/2\,</math>
| <math>\sqrt{4}/2=1</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\infty</math>
|}

==Relaciones entre cuadrantes==
;Ángulo complementario

:<math>\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\mathrm{sen}(x)</math>
:[[Archivo:razones-complementario.png]]

;Ángulo suplementario
:<math>\mathrm{sen}\left(\pi-x\right)=\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi-x\right)=-\cos(x)</math>
:[[Archivo:razones-suplementario.png]]

;Giro de un cuadrante
:<math>\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{sen}(x)</math>
:[[Archivo:razones-2o-cuadrante.png]]

;Giro de dos cuadrantes
:<math>\mathrm{sen}\left(\pi+x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(\pi+x\right)=-\cos(x)</math>
:[[Archivo:razones-3o-cuadrante.png]]

;Cambio de signo
:<math>\mathrm{sen}\left(-x\right)=-\mathrm{sen}(x)\qquad \cos\left(-x\right)=\cos(x)</math>
:[[Archivo:razones-4o-cuadrante.png]]

==Suma y diferencia de ángulos==
;Seno:

:<math>\mathrm{sen}(x+y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)+\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>

:<math>\mathrm{sen}(x-y)=\mathrm{sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>

;Coseno:

:<math>\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>

:<math>\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)\,</math>

;Tangente:

:<math>\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}(x)+\mathrm{tg}(y)}{1-\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}</math>

:<math>\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}(x)-\mathrm{tg}(y)}{1+\mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)}</math>

==Ángulo doble y ángulo mitad==
===Ángulo doble===
;Seno:

:<math>\mathrm{sen}(2x)=2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)\,</math>

;Coseno:

:<math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)\,</math>

;Tangente:

:<math>\mathrm{tg}(2x)=\frac{2\,\mathrm{tg}(x)}{1-\mathrm{tg}^2(x)}</math>

===Ángulo mitad===
;Seno:

:<math>\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}</math>

;Coseno:

:<math>\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}</math>

;Tangente:

:<math>\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}=\frac{\mathrm{sen}(x)}{1+\cos(x)}</math>

==Sumas en productos==

:<math>\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)</math>

:<math>\mathrm{sen}(x)-\mathrm{sen}(y) = 2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)</math>

:<math>\cos(x)+\cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)</math>

:<math>\cos(x)-\cos(y) = -2\,\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{x-y}{2}\right)</math>

==Derivadas y primitivas==
El argumento debe estar obligatoriamente en radianes
===Derivadas===

:<math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{sen}(x)) = \cos(x)</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\cos(x)) = -\,\mathrm{sen}(x)</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(\mathrm{tg}(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}=1+\mathrm{tg}^2(x)</math>

===Primitivas===

:<math>\int \mathrm{sen}(x)\mathrm{d}x = -\cos(x)+C</math>

:<math>\int \cos(x)\mathrm{d}x = \mathrm{sen}(x)+C</math>

:<math>\int \mathrm{tg}(x)\mathrm{d}x = -\ln(\cos(x))+C</math>

==Fórmula de Euler==
;Fórmula general

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}=\cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)\qquad (\mathrm{j}=\sqrt{-1})</math>

;Casos particulares:

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2} = \mathrm{j}\,</math>

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi} = -1\,</math>

:<math>\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{j}} = 1\,</math>

==Teoremas del seno y del coseno==
===Teorema del seno===

[[Archivo:teorema-seno.png]]

:<math>\frac{a}{\mathrm{sen}(\alpha)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(\gamma)}=2R</math>

(<math>R</math>: radio de la circunferencia circunscrita)

===Teorema del coseno===
Misma notación que en el teorema del seno

:<math>a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos(\alpha)\,</math>

y las correspondientes a los otros dos ángulos.

==Resolución de triángulos==
Misma notación que en el teorema del seno y del coseno.

Se trata de dados tres datos (lados o ángulos) hallar los tres restantes.
===Dados los tres lados===
Por el teorema del coseno se determinan los tres ángulos. Para <math>\alpha</math>

<center><math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math></center>

y análogamente para los otros dos.

===Dados dos lados y el ángulo que abarcan===
Si conocemos <math>a</math>, <math>b</math> y el ángulo <math>\gamma</math> por el teorema del coseno hallamos <math>c</math>
<center>
<math>c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}</math></center>

una vez conocidos los tres lados podemos aplicar el caso anterior o bien emplear el teorema del seno

<center><math>\alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{c}\mathrm{sen}(\gamma)\right)</math></center>

===Dados dos lados y otro ángulo===
Si conocemos <math>a</math>, <math>b</math> y el ángulo <math>\beta</math> por el teorema del seno hallamos <math>\alpha</math>

<center><math>\alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{b}\mathrm{sen}(\beta)\right)</math></center>

y aplicando que los ángulos suman <math>\pi</math>

<center><math>\gamma=\pi-\alpha-\beta\,</math></center>

y a partir de ahí se sigue como en los casos anteriores.

===Dado un lado y dos ángulos===
Si concemos el lado <math>a</math> y los ángulos <math>\beta</math> y <math>\gamma</math>, hallamos en primer lugar <math>\alpha</math>

<center><math>\alpha=\pi-\beta-\gamma\,</math></center>

y luego aplicamos el teorema del seno

<center><math>b = a\frac{\mathrm{sen}(\beta)}{\mathrm{sen}(\alpha)}\qquad\qquad c = a\frac{\mathrm{sen}(\gamma)}{\mathrm{sen}(\alpha)}</math></center>

===Dados los tres ángulos===
En ese caso no se pueden dar los tres lados, ya que todos los triángulos semejantes tienen los mismos ángulos independientemente de su tamaño. No obstante, puede darse a proporción entre sus lados mediante el teorema del seno.

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