Sistema de tres conductores esféricos - Historial de revisiones

Antonio: /* Energía almacenada */

2025-04-22T15:31:32Z

Energía almacenada

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Línea 78:		Línea 78:
	o a partir de la fórmula para un conjunto de condensadores		o a partir de la fórmula para un conjunto de condensadores

	<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{33}(V_3)^2 = \frac{1}{2}2(-2)^2+\frac{1}{2}2(-1)^2+\frac{1}{2}4(2)^2 =13\,\mu\mathrm{J}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{33}(V_3)^2 = \left(\frac{1}{2}2(-2)^2+\frac{1}{2}2(-1)^2+\frac{1}{2}4(2)^2\right)\mu\mathrm{J} =13\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Antonio: /* Capacidades del circuito equivalente */

2025-04-22T15:28:43Z

Capacidades del circuito equivalente

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Línea 27:		Línea 27:
	El circuito está formado entonces por tres condensadores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.		El circuito está formado entonces por tres condensadores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.

	[[Archivo:circuito~~-tres~~-conductores-esfericos.png\|800px\|center]]		[[Archivo:circuito-conductores-esfericos.png\|800px\|center]]

	==Carga de cada uno de los conductores==		==Carga de cada uno de los conductores==

Antonio: /* Capacidades del circuito equivalente */

2025-04-22T15:27:12Z

Capacidades del circuito equivalente

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Línea 25:		Línea 25:
	<center><math>C_{33}=4\pi\varepsilon_0 c=\frac{36\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=4\,\mathrm{pF}</math></center>		<center><math>C_{33}=4\pi\varepsilon_0 c=\frac{36\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=4\,\mathrm{pF}</math></center>

	El circuito está formado entonces por tres ~~condensdores~~, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.		El circuito está formado entonces por tres condensadores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.

	[[Archivo:circuito-tres-conductores-esfericos.png\|800px\|center]]		[[Archivo:circuito-tres-conductores-esfericos.png\|800px\|center]]

Antonio: /* Capacidades del circuito equivalente */

2025-04-22T15:27:02Z

Capacidades del circuito equivalente

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Línea 26:		Línea 26:

	El circuito está formado entonces por tres condensdores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.		El circuito está formado entonces por tres condensdores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.

			[[Archivo:circuito-tres-conductores-esfericos.png\|800px\|center]]

	==Carga de cada uno de los conductores==		==Carga de cada uno de los conductores==

Antonio en 14:45 22 abr 2025

2025-04-22T14:45:56Z

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Línea 73:		Línea 73:

	<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3=\left(\frac{1}{2}(-4)\cdot 0 + \frac{1}{2}(-2)\cdot 1+\frac{1}{2}(+14)\cdot 2\right)\,\mu\mathrm{J}=13\,\mu\mathrm{J}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3=\left(\frac{1}{2}(-4)\cdot 0 + \frac{1}{2}(-2)\cdot 1+\frac{1}{2}(+14)\cdot 2\right)\,\mu\mathrm{J}=13\,\mu\mathrm{J}</math></center>

			o a partir de la fórmula para un conjunto de condensadores

			<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_{13}(V_1-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{23}(V_2-V_3)^2+\frac{1}{2}C_{33}(V_3)^2 = \frac{1}{2}2(-2)^2+\frac{1}{2}2(-1)^2+\frac{1}{2}4(2)^2 =13\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por tres conductores metálicos. Dos de ellos (“1” y “2”) son esferas macizas de radio $a=9\,\mathrm{mm}$ . El tercero es una esfera de radio $c=4a=36\,\mathrm{mm}$ , que tiene dos huecos esféricos de radio $b=2a=18\,\mathrm{mm}$ en cuyo interior se encuentran los conductores “1” y “2”, concéntricamente a cada hueco. El conductor “1” se encuentra conectado a tierra, el “2…»

2025-04-22T11:59:14Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por tres conductores metálicos. Dos de ellos (“1” y “2”) son esferas macizas de radio <math>a=9\,\mathrm{mm}</math>. El tercero es una esfera de radio <math>c=4a=36\,\mathrm{mm}</math>, que tiene dos huecos esféricos de radio <math>b=2a=18\,\mathrm{mm}</math> en cuyo interior se encuentran los conductores “1” y “2”, concéntricamente a cada hueco. El conductor “1” se encuentra conectado a tierra, el “2…»

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==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por tres conductores metálicos. Dos de ellos (“1” y “2”) son esferas macizas de radio <math>a=9\,\mathrm{mm}</math>. El tercero es una esfera de radio <math>c=4a=36\,\mathrm{mm}</math>, que tiene dos huecos esféricos de radio <math>b=2a=18\,\mathrm{mm}</math> en cuyo interior se encuentran los conductores “1” y “2”, concéntricamente a cada hueco.
El conductor “1” se encuentra conectado a tierra, el “2” a una fuente de tensión de <math>V_0=+1\,\mathrm{kV}</math>, y el “3” a una de tensión <math>V_3=2V_0=2\,\mathrm{kV}</math>. El infinito se halla a potencial 0 (tierra). No hay más conductores en el sistema. Calcule
# Las capacidades entre cada par de conductores y de cada uno con el infinito, si las hubiera.
# La carga neta de cada uno de los 3 conductores.
# La carga de cada una de las 5 superficies, tanto las exteriores de cada uno como las paredes de los huecos.
# La energía electrostática almacenada en el sistema.
<center>[[Archivo:sistema-tres-conductores-esfericos.png|600px]]</center>

==Capacidades del circuito equivalente==
Los conductores 1 y 2 forman con el 3 sendos condensadores esféricos de la misma capacidad

<center><math>C_{13}=C_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}=\frac{9\times 10^{-3}\times 18\times 10^{-3}}{9\times 10^9 \times 9\times 10^{-3}}\,\mathrm{F}=2\,\mathrm{pF}</math></center>

Entre el 1 y el 2 no hay ningún condensador, ya que ninguna línea de campo que sale del conductor 1 puede ir a parar al conductor 2. Todas van al 3.

<center><math>C_{12}=0\,</math></center>

El conductor 1 no forma ningún condensador con el infinito, ya que del 1 solo hay líneas hacia el 3. Lo mismo pasa con el 2.

<center><math>C_{11}=C_{22}=0\,</math></center>

El conductor 3 sí forma un condensador con el infinito, siendo su capacidad la de un condensador esférico

<center><math>C_{33}=4\pi\varepsilon_0 c=\frac{36\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=4\,\mathrm{pF}</math></center>

El circuito está formado entonces por tres condensdores, formando una estrella, más las correspondientes fuentes de tensión.

==Carga de cada uno de los conductores==
La carga de cada conductor es, en el circuito, igual a la suma de las cargas de los condensadores conectados al nodo correspondiente. Esto da, para el conductor 1

<center><math>Q_1=C_{13}(V_1-V_3)=2(0-2)\,\mathrm{nC}=-4\,\mathrm{nC}</math></center>

Para el 2

<center><math>Q_2=C_{23}(V_2-V_3)=2(1-2)\,\mathrm{nC}=-2\,\mathrm{nC}</math></center>

Para el 3 tenemos tres condensadores

<center><math>Q_3=C_{13}(V_3-V_1)+C_{23}(V_3-V_2)+C_{33}(V_3-0)=\left(2(2-0)+2(2-1)+4(2-0)\right)\,\mathrm{nC}=+14\,\mathrm{nC}</math></center>

==Carga de cada una de las superficies==
===Del conductor 1===
El conductor 1 tiene una única superficie, por lo que

<center><math>Q_{s1}=Q_1=-4\,\mathrm{nC}</math></center>

===Del conductor 2===
De la misma manera, tenemos, para el conductor 2

<center><math>Q_{s2}=Q_2=-2\,\mathrm{nC}</math></center>

===Del conductor 3===
El conductor 3 tiene 3 superficies, una por cada condensador

====Superficie enfrentada al conductor 1====
En esta pared del hueco, por el teorema de Faraday

<center><math>Q_{31}=-Q_1= +4\,\mathrm{nC}</math></center>

====Superficie enfrentada al conductor 2====
De nuevo por el teorema de Faraday

<center><math>Q_{31}=-Q_2= +2\,\mathrm{nC}</math></center>

====Superficie exterior====
Esta superficie contiene el resto de la carga del conductor 3, que es la del condensador que forma con el infinito

<center><math>Q_{33}=Q_3-Q_{31}-Q_{32}=(14-4-2)\,\mathrm{nC}= +8\,\mathrm{nC}</math></center>

==Energía almacenada==
Podemos calcular la energía almacenada a partir de la fórmula para tres conductores

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3=\left(\frac{1}{2}(-4)\cdot 0 + \frac{1}{2}(-2)\cdot 1+\frac{1}{2}(+14)\cdot 2\right)\,\mu\mathrm{J}=13\,\mu\mathrm{J}</math></center>