Sistema de 5 condensadores - Historial de revisiones

Antonio: /* Transformación Y-Δ */

2025-04-25T09:51:37Z

Transformación Y-Δ

← Revisión anterior		Revisión del 11:51 25 abr 2025
Línea 96:		Línea 96:
	Esto transforma el circuito en este equivalente (puede costar un poco ver el triángulo de condensadores y entender sus conexiones)		Esto transforma el circuito en este equivalente (puede costar un poco ver el triángulo de condensadores y entender sus conexiones)

	[[Archivo:sistema-5-condensadores-~~03b~~.png\|800px\|center]]		[[Archivo:sistema-5-condensadores-03c.png\|800px\|center]]

	Ahora tenemos dos pares de condensadores en paralelo		Ahora tenemos dos pares de condensadores en paralelo

Antonio: /* Transformación Y-Δ */

2025-04-25T09:50:05Z

Transformación Y-Δ

← Revisión anterior		Revisión del 11:50 25 abr 2025
Línea 96:		Línea 96:
	Esto transforma el circuito en este equivalente (puede costar un poco ver el triángulo de condensadores y entender sus conexiones)		Esto transforma el circuito en este equivalente (puede costar un poco ver el triángulo de condensadores y entender sus conexiones)

	[[Archivo:sistema-5-condensadores-03.png\|800px\|center]]		[[Archivo:sistema-5-condensadores-03b.png\|800px\|center]]

	Ahora tenemos dos pares de condensadores en paralelo		Ahora tenemos dos pares de condensadores en paralelo

Antonio en 09:47 25 abr 2025

2025-04-25T09:47:48Z

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Línea 72:		Línea 72:
	Este circuito sí se puede analizar como asociaciones en serie y en paralelo. Tenemos dos asociaciones en serie, de capacidades		Este circuito sí se puede analizar como asociaciones en serie y en paralelo. Tenemos dos asociaciones en serie, de capacidades

	<center><math>C_{12}=\~~rac~~{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{24\cdot 40}{24+40}\,\mathrm{nF}=15\,\mathrm{nF}</math></center>		<center><math>C_{12}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{24\cdot 40}{24+40}\,\mathrm{nF}=15\,\mathrm{nF}</math></center>

	<center><math>C_{34}=\~~rac~~{C_3 C_4}{C_3+C_4}=\frac{12\cdot 60}{12+60}\,\mathrm{nF}=10\,\mathrm{nF}</math></center>		<center><math>C_{34}=\frac{C_3 C_4}{C_3+C_4}=\frac{12\cdot 60}{12+60}\,\mathrm{nF}=10\,\mathrm{nF}</math></center>

	Estos están en paralelo		Estos están en paralelo
Línea 110:		Línea 110:
	<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{40}{3}+\frac{20}{3}=20\,\mathrm{nF}</math></center>		<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{40}{3}+\frac{20}{3}=20\,\mathrm{nF}</math></center>

	También se puede resolver ~~emplenado~~ en lugar de la estrella de condensadores del nodo E la del nodo D (pero no las dos a la vez).		También se puede resolver empleando en lugar de la estrella de condensadores del nodo E la del nodo D (pero no las dos a la vez).

Antonio en 09:46 25 abr 2025

2025-04-25T09:46:54Z

← Revisión anterior		Revisión del 11:46 25 abr 2025
Línea 56:		Línea 56:

	==Transformación Δ-Y==		==Transformación Δ-Y==
			Una forma alternativa de obtener la capacidad equivalente es mediante la [[Transformación_Δ-Y_(delta-estrella)\|transformación Δ-Y]]. Los tres condensadores de la malla de la derecha forman un triángulo (una Δ) con capacidades

			<center><math>C_{12}=20\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_{13}=12\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_{23}=30\,\mathrm{nF}</math></center>

			que se puede sustituir por una estrella equivalente, con capacidades

			<center><math>P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=20\cdot 12+20\cdot30+12\cdot 30 = 1200\,\mathrm{nF}^2</math></center>

			<center><math>C_{1}=\frac{P}{C_{23}}=\frac{1200}{30}\,\mathrm{nF}=40\,\mathrm{nF}\qquad C_{2}=\frac{P}{C_{13}}=\frac{1200}{12}\,\mathrm{nF}=100\,\mathrm{nF}\qquad C_{3}=\frac{P}{C_{12}}=\frac{1200}{20}\,\mathrm{nF}=60\,\mathrm{nF}</math></center>

			Esto nos transforma el sistema en este equivalente

			[[Archivo:sistema-5-condensadores-02.png\|800px\|center]]

			Este circuito sí se puede analizar como asociaciones en serie y en paralelo. Tenemos dos asociaciones en serie, de capacidades

			<center><math>C_{12}=\rac{C_1 C_2}{C_1+C_2}=\frac{24\cdot 40}{24+40}\,\mathrm{nF}=15\,\mathrm{nF}</math></center>

			<center><math>C_{34}=\rac{C_3 C_4}{C_3+C_4}=\frac{12\cdot 60}{12+60}\,\mathrm{nF}=10\,\mathrm{nF}</math></center>

			Estos están en paralelo

			<center><math>C_{1234}=15\,\mathrm{nF}+10\,\mathrm{nF}=25\,\mathrm{nF}</math></center>

			y este está en serie con el último

			<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{25\cdot 100}{25+100}\,\mathrm{nF}=20\,\mathrm{nF}</math></center>

			También puede aplicarse este método con la malla de la izquierda en lugar de con la de la derecha (pero no las dos a la vez, una vez que “gastamos&” el condensador central de 12 nF en una estrella, no podemos usarlo para la otra).
	==Transformación Y-Δ==		==Transformación Y-Δ==
			También podemos aplicar la transformación inversa. Si nos fijamos en los tres condensadores unidos al nodo E vemos que forman una estrella con capacidades pueden transformase en una delta. Las capacidades equivalentes son

			<center><math>C_{35}=\frac{C_3C_5}{C_3+C_4+C_5}=\frac{12\cdot 12}{12+12+30}\,\mathrm{nF}=\frac{8}{3}\,\mathrm{nF}</math></center>

			<center><math>C_{34}=\frac{C_3C_4}{C_3+C_4+C_5}=\frac{12\cdot 30}{12+12+30}\,\mathrm{nF}=\frac{20}{3}\,\mathrm{nF}</math></center>

			<center><math>C_{45}=\frac{C_4C_5}{C_3+C_4+C_5}=\frac{12\cdot 30}{12+12+30}\,\mathrm{nF}=\frac{20}{3}\,\mathrm{nF}</math></center>

			Esto transforma el circuito en este equivalente (puede costar un poco ver el triángulo de condensadores y entender sus conexiones)

			[[Archivo:sistema-5-condensadores-03.png\|800px\|center]]

			Ahora tenemos dos pares de condensadores en paralelo

			<center><math>C_{135}=24+\frac{8}{3}=\frac{80}{3}\,\mathrm{nF}\qquad\qquad C_{245}=20+\frac{20}{3}=\frac{80}{3}\,\mathrm{nF}</math></center>

			que están en serie

			<center><math>C_{12345}=\frac{(80/3)(80/3)}{(80/3)+(80/3)}=\frac{40}{3}\,\mathrm{nF}</math></center>

			y este está en paralelo con el condensador restante

			<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{40}{3}+\frac{20}{3}=20\,\mathrm{nF}</math></center>

			También se puede resolver emplenado en lugar de la estrella de condensadores del nodo E la del nodo D (pero no las dos a la vez).

Antonio: /* Sistema de ecuaciones */

2025-04-24T18:19:38Z

Sistema de ecuaciones

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Línea 41:		Línea 41:
	con solución		con solución

	<center><math>V_D=\frac{1}{2}V_A+\frac{1}{2}~~V_D~~\qquad\qquad V_E=\frac{1}{3}V_A+\frac{2}{3}V_B</math></center>		<center><math>V_D=\frac{1}{2}V_A+\frac{1}{2}V_B\qquad\qquad V_E=\frac{1}{3}V_A+\frac{2}{3}V_B</math></center>

	Una vez que tenemos estos voltajes de los nodos centrales podemos hallar las cargas de los condensadores conectados a A		Una vez que tenemos estos voltajes de los nodos centrales podemos hallar las cargas de los condensadores conectados a A
Línea 54:		Línea 54:

	<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{Q_1+Q_3}{V_A-V_B}=20\,\mathrm{nF}</math></center>		<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{Q_1+Q_3}{V_A-V_B}=20\,\mathrm{nF}</math></center>




	==Transformación Δ-Y==		==Transformación Δ-Y==
	==Transformación Y-Δ==		==Transformación Y-Δ==

Antonio en 14:48 24 abr 2025

2025-04-24T14:48:23Z

← Revisión anterior		Revisión del 16:48 24 abr 2025
Línea 37:		Línea 37:

	<center><math>\begin{array}{rcl}14V_D-3V_E&=&6V_A+5V_B\\		<center><math>\begin{array}{rcl}14V_D-3V_E&=&6V_A+5V_B\\
	-~~2v_D~~+9V_E&=&2V_A+5V_B\end{array}</math></center>		-2V_D+9V_E&=&2V_A+5V_B\end{array}</math></center>

	con solución		con solución

Antonio en 14:47 24 abr 2025

2025-04-24T14:47:51Z

← Revisión anterior		Revisión del 16:47 24 abr 2025
Línea 32:		Línea 32:
	Si sustituimos aquí las cargas en función de los potenciales queda		Si sustituimos aquí las cargas en función de los potenciales queda

	<center><math>\begin{array}{rcl}-24(V_A-V_D)+12(V_D-V_E)+20(V_D-V_B)&=&0\\ -12(V_D-V_E)-12(V_A-V_E)+30(V_E-V_B)=0\end{array}</math></center>		<center><math>\begin{array}{rcl}-24(V_A-V_D)+12(V_D-V_E)+20(V_D-V_B)&=&0\\ -12(V_D-V_E)-12(V_A-V_E)+30(V_E-V_B)&=&0\end{array}</math></center>

	Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales		Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales

Antonio en 14:47 24 abr 2025

2025-04-24T14:47:24Z

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Línea 32:		Línea 32:
	Si sustituimos aquí las cargas en función de los potenciales queda		Si sustituimos aquí las cargas en función de los potenciales queda

	<center><math>-24(V_A-V_D)+12(V_D-V_E)+20(V_D-V_B)=0\~~qquad~~\~~qquad~~ -12(V_D-V_E)-12(V_A-V_E)+30(V_E-V_B)=0</math></center>		<center><math>\begin{array}{rcl}-24(V_A-V_D)+12(V_D-V_E)+20(V_D-V_B)&=&0\\ -12(V_D-V_E)-12(V_A-V_E)+30(V_E-V_B)=0\end{array}</math></center>

	Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales		Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales

Antonio en 14:46 24 abr 2025

2025-04-24T14:46:24Z

← Revisión anterior		Revisión del 16:46 24 abr 2025
Línea 36:		Línea 36:
	Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales		Si simplificamos aquí obtenemos un sistema de dos ecuaciones para los nodos centrales

	<center><math>\begin{~~eqnarray~~}{rcl}14V_D-3V_E&=&6V_A+5V_B\\		<center><math>\begin{array}{rcl}14V_D-3V_E&=&6V_A+5V_B\\
	-2v_D+9V_E&=&2V_A+5V_B\end{~~eqnarray~~}</math></center>		-2v_D+9V_E&=&2V_A+5V_B\end{array}</math></center>

	con solución		con solución
Línea 45:		Línea 45:
	Una vez que tenemos estos voltajes de los nodos centrales podemos hallar las cargas de los condensadores conectados a A		Una vez que tenemos estos voltajes de los nodos centrales podemos hallar las cargas de los condensadores conectados a A

	<center><math>Q_1= 24(V_A-V_D) = 12(V_A-V_B)\~~qqquad~~\qquad Q_3=12(V_A-V_E) = 8(V_A-V_B)</math></center>		<center><math>Q_1= 24(V_A-V_D) = 12(V_A-V_B)\qquad\qquad Q_3=12(V_A-V_E) = 8(V_A-V_B)</math></center>

	lo que nos da		lo que nos da
Línea 54:		Línea 54:

	<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{Q_1+Q_3}{V_A-V_B}=20\,\mathrm{nF}</math></center>		<center><math>C_\mathrm{eq}=\frac{Q_1+Q_3}{V_A-V_B}=20\,\mathrm{nF}</math></center>




	==Transformación Δ-Y==		==Transformación Δ-Y==
	==Transformación Y-Δ==		==Transformación Y-Δ==

Antonio en 14:44 24 abr 2025

2025-04-24T14:44:44Z

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 [[Archivo:sistema-5-condensadores.png|800px|center]]
 ==Introducción==
 ==Sistema de ecuaciones==
 ==Transformación &Delta;-Y==
 ==Transformación Y-&Delta;==