Pedro: Página creada con «==Enunciado== Un rodillo cilíndrico macizo de radio $R$ y masa $M$ se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) $\mu$ . El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante $k$ y longitud natural $l_0$ . Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia $A$ y se suelta desde el reposo. El rodillo ru…»

2024-09-04T14:31:13Z

Página creada con «==Enunciado== Un rodillo cilíndrico macizo de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) <math>\mu</math>. El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural <math>l_0</math>. Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia <math>A</math> y se suelta desde el reposo. El rodillo ru…»

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==Enunciado==
Un rodillo cilíndrico macizo de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) <math>\mu</math>. El eje del rodillo está atado a la pared mediante un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural <math>l_0</math>.

Se separa el rodillo de la posición de equilibrio una distancia <math>A</math> y se suelta desde el reposo. El rodillo rueda sin deslizar.
# Halle la velocidad del centro del rodillo y la velocidad angular para el instante en que su centro pasa por la posición de equilibrio.
# ¿Cuánto vale el periodo de las oscilaciones que describe?
# Calcule la fuerza de rozamiento estático que ejerce el suelo sobre el rodillo (a) en la posición inicial y (b) al pasar por la posición de equilibrio.
#¿Cuál es el máximo valor de <math>A</math> que se puede alejar el rodillo si no se quiere que este empiece a deslizar sobre el suelo?

<center>[[Archivo:muelle-rodillo.png]]</center>
==Introducción==
Este problema es muy similar al de una [[bola que rueda por una pendiente]], con la diferencia de que allí la fuerza que hace rodar la bola es el peso y aquí el rodillo rueda por la fuerza elástica.
==Velocidades==
Este apartado se puede hacer de forma sencilla tanto empleando el balance energético como el de las fuerzas aplicadas.

===Mediante el balance de energía===
Sobre el rodillo actúan cuatro fuerzas:

* Su peso, que es vertical y constante.
<center><math>M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}</math></center>
* La reacción normal del suelo, que dado que no hay desplazamiento vertical, va a ser siempre opuesta al peso.
<center><math>\vec{F}_n=F_n\vec{\jmath}</math></center>
* La fuerza elástica, que verifica la ley de Hooke
<center><math>\vec{F}_e=-kx\vec{\imath}</math></center>
* La fuerza de rozamiento estático, que es la que consigue que el cilindro ruede sin deslizar
<center><math>\vec{F}_r=F_r\vec{\imath}</math></center>

De estas cuatro fuerzas, las dos aplicadas en el punto de contacto, <math>\vec{F}_n</math> y <math>\vec{F}_r</math>, no desarrollan potencia alguna, por ser nula la velocidad de este punto. Las otras dos, el peso y la fuerza elástica, son fuerzas conservativas.

Por tanto, se conserva la energía mecánica en este sistema.

<center><math>E_i = E_f\,</math></center>

La energía mecánica inicial es solo potencial, ya que el cilindro parte del reposo

<center><math>E_i = \overbrace{K_T}^{=0}+\overbrace{K_R}^{=0} + U_e + U_g = \frac{1}{2}kA^2+MgR</math></center>

La energía, cuando pasa por la posición de equilibrio contiene energía cinética de rotación, de traslación y mantiene potencial gravitatoria, ya que no ha subido ni bajado.

<center><math>E_f = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2+MgR</math></center>

Igualando las dos cantidades queda

<center><math>\frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 = \frac{1}{2}kA^2</math></center>

Queda relacionar las energías cinéticas de rotación y traslación. Por ser un cilindro macizo

<center><math>I = \frac{1}{2}MR^2</math></center>

y, por estar [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Rodadura|rodando sin deslizar]], las velocidades tienen las direcciones y sentidos

<center><math>\vec{v}_C=v_C\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\omega \vec{k}</math></center>

(en realidad la velocidad va a ir en sentido de x decreciente, pero esto no afecta a esta expresión, simplemente <math>v_C < 0</math>)
cumpliéndose

<center><math>\vec{0}=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \omega = -\frac{v_C}{R}</math></center>

Por tanto, la energía cinética de rotación es igual a

<center><math>K_R = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(-\frac{v_C}{R}\right)^2 = \frac{1}{4}Mv_C^2=\frac{K_T}{2}</math></center>

Sustituyendo en la ley de conservación de la energía mecánica queda

<center><math>\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{4}Mv_C^2 = \frac{1}{2}kA^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_C = -A\sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center>

y para la velocidad angular

<center><math>\omega = \frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{v}_C=-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{k}</math></center>

===Mediante el análisis de fuerzas===
El análisis es idéntico al caso general de [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Rodadura_con_fuerza_aplicada|rodadura con fuerza aplicada]], siendo en esta caso la fuerza aplicada la elástica

<center><math>\vec{F}_\mathrm{apl}=\vec{F}_e=-kx\vec{\imath}</math></center>

<center>[[Archivo:rodillo-muelle-02.png]]</center>

de forma que las ecuaciones de movimiento para el sólido son

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}-kx + F_r & = & Ma_c\\ -Mg+F_n & = & 0\end{array}\right.\qquad\qquad I\alpha =RF_r</math></center>

donde

<center><math>I = \frac{1}{2}MR^2\qquad \qquad \alpha = -\frac{a_C}{R}\qquad\Rightarrow\qquad F_r = -\frac{Ma_C}{2}</math></center>

lo que permite eliminar la fuerza de rozamiento estático

<center><math>-kx -\frac{Ma_C}{2}=Ma_C\qquad\Rightarrow\qquad a_C = -\frac{2k}{3M}x</math></center>

Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia

<center><math>a_C = -\Omega^2 x \qquad\Rightarrow\qquad \Omega = \sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center>

Puesto que el estado inicial es en reposo en <math>x=A</math>, la solución de esta ecuación de movimiento es

<center><math>x = A\cos(\Omega t)\,</math></center>

siendo la velocidad

<center><math>v_C = \dot{x}=-A\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center>

En la posición de equilibrio el seno vale la unidad y la velocidad se reduce a

<center><math>v_C = -A\Omega =-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center>

con la velocidad angular

<center><math>\omega = \frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{v}_C=-A\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{\omega}=\frac{A}{R}\sqrt{\frac{2k}{3M}}\vec{k}</math></center>

==Periodo de oscilación==
Este apartado se puede hacer también por balance energético y por análisis de fuerzas, aunque es mucho más sencillo por el segundo método.

Puesto que hemos deducido que el centro de masas cumple la ecuación del oscilador armónico

<center><math>a_C = -\Omega^2 x \qquad\Rightarrow\qquad \Omega = \sqrt{\frac{2k}{3M}}</math></center>

entonces el periodo de oscilación es

<center><math>T = \frac{2\pi}{\Omega}=2\pi\sqrt{\frac{3M}{2k}}</math></center>

Nótese que el periodo de oscilación no se relaciona directamente con la velocidad angular con que gira el rodillo. Una cosa es el periodo de oscilación de un m.a.s. y otra el periodo de revolución en un movimiento de rotación.

<center>[[Archivo:muelle-rodillo.gif]]</center>

==Fuerza de rozamiento estático==
Tal como vimos antes, para cualquier posición del rodillo

<center><math>F_r = -\frac{Ma_C}{2} = -\frac{M}{2}\left(-\frac{2k}{3M}x\right) = \frac{kx}{3}</math></center>

En la posición inicial

<center><math>x = A\qquad\Rightarrow\qquad F_r=\frac{kA}{3}</math></center>

y en la de equilibrio, en la que el resorte no hace fuerza

<center><math>x = 0\qquad\Rightarrow\qquad F_r=0</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{F}_r(x=A) = \frac{kA}{3}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{F}_r(x=0)=\vec{0}</math></center>

==Amplitud máxima==
La condición para que no se produzca deslizamiento es que la fuerza de rozamieno estático no supere su valor límite

<center><math>|\vec{F}_r|\leq \mu |\vec{F}_n|</math></center>

lo que nos da la condición

<center><math>\frac{kA}{3}\leq \mu Mg \qquad\rightarrow\qquad A \leq \frac{3\mu Mg}{k}</math></center>

[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)]]

Rodillo unido a un resorte - Historial de revisiones