Rodadura permanente de un disco - Historial de revisiones

Drake: /* Aceleraciones */

2024-01-12T10:56:16Z

Aceleraciones

← Revisión anterior		Revisión del 11:56 12 ene 2024
Línea 70:		Línea 70:
	En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones		En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones

	<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>

	[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]		[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]

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2024-01-12T10:55:37Z

Aceleraciones

← Revisión anterior		Revisión del 11:55 12 ene 2024
Línea 70:		Línea 70:
	En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones		En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones

	<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}{{qquad}}{{qquad}}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>

	[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]		[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]

Drake: /* Aceleraciones */

2024-01-12T10:54:54Z

Aceleraciones

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Línea 70:		Línea 70:
	En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones		En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones

	<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}{{qquad}}{{qquad}}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>

	[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]		[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]

Drake: /* Aceleraciones */

2024-01-12T10:51:31Z

Aceleraciones

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Línea 60:		Línea 60:
	[[Archivo:aceleracion-puntos-disco.png\|right]]		[[Archivo:aceleracion-puntos-disco.png\|right]]

	Desarrollando el ~~[[Vectores_libres#Doble_producto_vectorial\|~~doble producto vectorial]]		Desarrollando el doble producto vectorial

	<center><math>\vec{a}^P = (\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OP})\vec{\omega}-\omega^2\overrightarrow{OP}</math></center>		<center><math>\vec{a}^P = (\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OP})\vec{\omega}-\omega^2\overrightarrow{OP}</math></center>

Drake: /* Velocidades */

2024-01-12T10:48:25Z

Velocidades

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Línea 25:		Línea 25:
	;Punto B:		;Punto B:

	<center><math>\overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math></center>

	;Punto C:		;Punto C:

	<center><math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right\| = 2v_0\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right\| = 2v_0\vec{\imath}</math></center>

	;Punto D:		;Punto D:

	<center><math>\overrightarrow{OD}=-R\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OD}=-R\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

	Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.		Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Drake: /* Velocidades */

2024-01-12T10:47:28Z

Velocidades

← Revisión anterior		Revisión del 11:47 12 ene 2024
Línea 25:		Línea 25:
	;Punto B:		;Punto B:

	<center><math>\overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math></center>

	;Punto C:		;Punto C:

	<center><math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right\| = 2v_0\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right\| = 2v_0\vec{\imath}</math></center>

	;Punto D:		;Punto D:

	<center><math>\overrightarrow{OB}=-R\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OD}=-R\vec{\imath}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right\| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

	Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.		Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Drake: /* Velocidades */

2024-01-12T10:45:45Z

Velocidades

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Línea 12:		Línea 12:

	==Velocidades==		==Velocidades==
			[[Archivo:velocidad-puntos-disco.png\|right]]
	Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente		Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente

Línea 21:		Línea 22:

	<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right\| = \vec{0}</math></center>		<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=v_0\vec{\imath}+\left\|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right\| = \vec{0}</math></center>

	~~[[Archivo:velocidad-puntos-disco.png\|right]]~~

	;Punto B:		;Punto B:

Drake: /* Enunciado */

2024-01-12T10:44:15Z

Enunciado

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Línea 4:		Línea 4:
	La rodadura permanente de un disco de radio <math>R</math> sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades		La rodadura permanente de un disco de radio <math>R</math> sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades

	<center><math>\vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}</math></center>		<center><math>\vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\,\,;\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\,\,;\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}</math></center>

	donde la superficie horizontal se encuentra en <math>y=-R</math>.		donde la superficie horizontal se encuentra en <math>y=-R</math>.

Drake: Página creada con «==Enunciado== right La rodadura permanente de un disco de radio $R$ sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades $\vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}$ donde la superficie horizontal se encuentra en $y=-R$ . # Determine, para un instante dado, la velocid…»

2024-01-11T19:08:45Z

Página creada con «==Enunciado== right La rodadura permanente de un disco de radio <math>R</math> sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades <center><math>\vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}</math></center> donde la superficie horizontal se encuentra en <math>y=-R</math>. # Determine, para un instante dado, la velocid…»

Página nueva

==Enunciado==
[[Archivo:disco-rodante.png|right]]

La rodadura permanente de un disco de radio <math>R</math> sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades

<center><math>\vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}</math></center>

donde la superficie horizontal se encuentra en <math>y=-R</math>.

# Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco.
# Suponiendo <math>v_0=\mathrm{cte}\,</math>, calcule la aceleración de dichos puntos para el mismo instante.

==Velocidades==
Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente

;Punto A: Su vector de posición relativa es

<center><math>\overrightarrow{OA}=-R\vec{\jmath}</math></center>

:por lo que su velocidad vale

<center><math>\vec{v}^A = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right| = \vec{0}</math></center>

[[Archivo:velocidad-puntos-disco.png|right]]

;Punto B:

<center><math>\overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})</math></center>

;Punto C:

<center><math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right| = 2v_0\vec{\imath}</math></center>

;Punto D:

<center><math>\overrightarrow{OB}=-R\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:

<center><math>\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{AP}</math></center>

==Aceleraciones==
La expresión general del campo de aceleraciones es

<center><math>\vec{a}^P = \vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})</math></center>

En este caso tenemos que la velocidad del punto O es constante, por lo que

<center><math>\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}=\vec{0}</math></center>

También es nula la aceleración angular

<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}</math></center>

lo que nos deja con

<center><math>\vec{a}^P = \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})</math></center>

[[Archivo:aceleracion-puntos-disco.png|right]]

Desarrollando el [[Vectores_libres#Doble_producto_vectorial|doble producto vectorial]]

<center><math>\vec{a}^P = (\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OP})\vec{\omega}-\omega^2\overrightarrow{OP}</math></center>

Para los cuatro puntos del enunciado, el vector de posición relativo al punto O está contenido en el plano OXY y es por tanto perpendicular a la velocidad angular, con lo que la aceleración de cada uno se reduce a

<center><math>\vec{a}^P = -\omega^2\overrightarrow{OP}= -\frac{v_0^2}{R^2}\overrightarrow{OP}</math></center>

En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones

<center><math>\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}</math></center>

[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]