Pedro: Página creada con «== Enunciado == Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor $\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}$ y su momento respecto al origen de coordenadas es $\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$ . Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante. == Solución == Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera $P…»$

2023-09-26T09:42:56Z

Página creada con «== Enunciado == Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor <math>\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}</math> y su momento respecto al origen de coordenadas es <math>\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante. == Solución == Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera <math>P…»

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== Enunciado ==
Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor <math>\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}</math> y su momento respecto al origen de coordenadas es <math>\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

== Solución ==

Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera <math>P </math> perteneciente a la recta soporte, el momento respecto al punto <math>O </math> es
<center>
<math>
\overrightarrow{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{a}
</math>
</center>
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por <math>\vec{a} </math>
<center>
<math>
\vec{a}\times\overrightarrow{M}_O = \vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a})
</math>
</center>
Queremos despejar el vector <math>\overrightarrow{OP} </math>. Desarrollamos el doble producto vectorial
<center>
<math>
\vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a})
=
\left|
\begin{array}{cc}
\overrightarrow{OP} & \vec{a} \\
&\\
\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP} & \vec{a}\cdot\vec{a}
\end{array}
\right|
=
|\vec{a}|^2\,\overrightarrow{OP} - (\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP})\,\vec{a}
</math>
</center>
Seguimos sin poder despejar el vector <math>\overrightarrow{OP} </math> pues aparece multiplicado escalarmente por <math>\vec{a} </math> en el segundo término.

Sin embargo, el punto <math>P </math> es un punto cualquiera de la recta. En particular, podemos escoger el punto de la recta <math>P^* </math> tal que el vector <math>\overrightarrow{OP^*} </math> sea perpendicular a <math>\vec{a} </math>. Para ese punto se tiene <math>\overrightarrow{OP^*}\cdot\vec{a} =0</math> y podemos despejarlo de la expresión anterior
<center>
<math>
\overrightarrow{OP^*} = \dfrac{\vec{a}\times\overrightarrow{M}_O}{|\vec{a}|^2} =
\dfrac{1}{2}\,\vec{\imath} - \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Entonces la ecuación vectorial de la recta es
<center>
<math>
\Delta \equiv \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP^*} + \lambda\,\vec{a} =
\left[\dfrac{1}{2}+\lambda, -\dfrac{1}{2}+\lambda, -2\lambda\right]
</math>
</center>

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