Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Un punto inicialmente en reposo en la posición $x=a$ , $y=b$ , describe la parábola $\ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x$ . Se conoce la componente $y$ de la aceleración: $a_y =- k^2 y$ , con $k=cte$ . Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla? == S…»

2023-09-28T07:44:44Z

Página creada con «== Enunciado == right Un punto inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>, describe la parábola <math>\ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x</math>. Se conoce la componente <math>y</math> de la aceleración: <math>a_y =- k^2 y</math>, con <math>k=cte</math>. Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla? == S…»

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== Enunciado ==

[[Archivo:problema_9_11_12.gif|right]] Un punto inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>,
describe la parábola <math>\ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x</math>. Se conoce la
componente <math>y</math> de la aceleración: <math>a_y =- k^2 y</math>, con <math>k=cte</math>.
Determina en función del tiempo la posición, velocidad y
aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto
tiempo tarda en alcanzarla?
== Solución ==

Podemos usar como parámetro de la curva la propia coordenada <math>y</math>. De
este modo el vector que recorre los puntos de la curva es
<center><math>
\vec{r}(t) = \Big[ \dfrac{a}{b^2}y(t)^2,y(t),0\Big]
</math></center>
La derivada y la aceleración son
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t) = \Big[
\dfrac{2a}{b^2}y\dot{y},\dot{y},0\Big]\\ \\
\vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t) = \Big[ \dfrac{2a}{b^2}(\dot{y}^2+y\ddot{y}),\ddot{y},0\Big]
\end{array}
</math></center>
El enunciado nos da la componente <math>a_y</math> de la aceleración. Igualando a
la expresión obtenida obtenemos la ecuación diferencial
<center><math>
\ddot{y} = -k^2y
</math></center>
Puede comprobarse que las funciones <math>\cos(k t)</math> y <math>\,\mathrm{sen}\,(kt)</math> son
soluciones de esta ecuación. La solución más general puede escribirse
de la forma
<center><math>
y(t) = A\cos(kt) + B\,\mathrm{sen}\,(kt)
</math></center>
donde <math>A</math> y <math>B</math> son dos constantes. Su valor se determina a partir de
las condiciones iniciales. El enunciado nos da la posición inicial y
dice que se parte del reposo, es decir
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{r}(0) = [a,b,0]\to y(0)=b\\ \\
\vec{v}(0) = [0,0,0]\to\dot{y}(0) = 0
\end{array}
</math></center>
La derivada de la solución general es
<center><math>
\dot{y}(t) = -Ak\,\mathrm{sen}\,(kt) + Bk\cos(kt)
</math></center>
Aplicando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones
<center><math>
\begin{array}{l}
y(0)=b \to B=b\\ \\
\dot{y}(0)=0 \to A = 0
\end{array}
</math></center>
Por lo que la solución final es
<center><math>
y(t) = b\cos(kt)
</math></center>
Esto quiere decir que el valor de <math>y</math> oscila en el intervalo
<math>[-b,b]</math> con un período <math>T=2\pi/k</math>. El vector de posición, la velocidad y la derivada se
escriben
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{r}(t) = \Big[a\cos^2(kt),b\cos(kt),0\Big]\\ \\
\vec{v}(t) = \Big[-ak\,\mathrm{sen}\,(2kt),-bk\,\mathrm{sen}\,(kt),0\Big]\\ \\
\vec{a}(t) = \Big[-2ak^2\cos(2kt),-bk^2\cos(kt),0\Big]
\end{array}
</math></center>
Para obtener estas expresiones hemos usado la relaciones trigonométrica
<center><math>
\left.
\begin{array}{l}
\,\mathrm{sen}\,(2\alpha) = 2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha
\end{array}
\right.
</math></center>
=== Posiciones de reposo ===

Las posiciones de reposo se alcanzan cuando la velocidad es nula, es
decir, <math>|\,\vec{v}\,|=0</math>. El módulo es
<center><math>
|\,\vec{v}\,| = \sqrt{a^2k^2\,\mathrm{sen}\,^2(2kt) + b^2k^2\,\mathrm{sen}\,^2(kt)} =
k\,\mathrm{sen}\,(kt)\sqrt{4a^2\cos^2(kt)+b^2}
</math></center>
Hemos utilizado de nuevo la relación trigonométrica del seno del ángulo doble.

El módulo de la velocidad se anula cuando se cumple
<center><math>
\,\mathrm{sen}\,(kt) = 0 \to kt = n\pi\,\,\,\,\,(n=0,1,2,\ldots)
</math></center>
Por lo que los instantes de tiempo en que la velocidad es cero son
<center><math>
t_n = \dfrac{n\pi}{k} = \dfrac{nT}{2}\,\,\,\,\,(n=0,1,2,\ldots)
</math></center>

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