Pedro: Página creada con «== Enunciado == Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma $y = \frac{1}{a\,x^2-b\,tx+c\,t^2+d}$ donde ''x'' e ''y'' se miden en centímetros y ''t'' en segundos. # Determina las relaciones que deben cumplirse entre los parámetros $a$ , $b$ , $c$ y $d$ para que esta función represente una onda viajera. # Demuestra que esta se…»

2023-12-11T15:28:47Z

Página creada con «== Enunciado == Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma <center><math>y = \frac{1}{a\,x^2-b\,tx+c\,t^2+d}</math></center> donde ''x'' e ''y'' se miden en centímetros y ''t'' en segundos. # Determina las relaciones que deben cumplirse entre los parámetros <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> y <math>d</math> para que esta función represente una onda viajera. # Demuestra que esta se…»

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== Enunciado ==
Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

<center><math>y = \frac{1}{a\,x^2-b\,tx+c\,t^2+d}</math></center>

donde ''x'' e ''y'' se miden en centímetros y ''t'' en segundos.

# Determina las relaciones que deben cumplirse entre los parámetros <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> y <math>d</math> para que esta función represente una onda viajera.
# Demuestra que esta señal cumple la ecuación de onda si se cumplen las relaciones anteriores
# Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en ''x'' = 15 cm, en (a) ''t'' = 0 s, (b) ''t'' = 0.5 s, (c) ''t'' = 1 s.

== Solución ==

=== Relación entre los coeficientes ===

Para que sea una onda viajera la dependencia del pulso en <math>x </math> y <math>t </math> no puede ser cualquiera. Tiene que ocurrir que
<center>
<math>
y(x,t) = f(x\pm vt)
</math>
</center>
siendo <math>v </math> una constante positiva que no dependa de <math>x </math> ni de <math>t </math>.

Observando la función vemos que el denominador tiene una estructura similar a la que se obtiene del desarrollo de un binomio. Basándonos en ello, buscamos escribir la función del modo
<center>
<math>
y(x,y) = \dfrac{y_0}{a'\,(x-vt)^2 + d'}
</math>
</center>
donde <math>a' </math>, <math>v </math> y <math>d' </math> son tres constantes que tenemos que determinar en función de los coeficientes originales <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> y <math>d </math>.
Para ello desarrollamos el denominador de la función
<center>
<math>
a'\,(x-vt)^2 + d' = a'\,x^2 -2\,a'v\,x\,t + a'\,v^2\,t^2 + d' = a\,x^2-b\,x\,t + c\,t^2 + d
</math>
</center>
Igualando los factores que multiplican a los términos de estructura similar tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
a'=a
\\ \\
2\,a'\,v = b
\\ \\
a'\,v^2 = c
\\ \\
d'=d
\end{array}
</math>
</center>
La primera y la última de estas ecuaciones nos dan los valores de <math>a' </math> y <math>d' </math>. De las otras dos obtenemos
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
2\,a'\,v = b & \Rightarrow & v = \dfrac{b}{2a} \\
&&\\
a'\,v^2 = c & \Rightarrow & v^2 = \dfrac{c}{a}
\end{array}
</math>
</center>
Para que estas dos expresiones se cumplan a la vez debe ocurrir que
{| class='bordeado'
| <math>b^2=4ac </math>
|}
Esta es la relación que debe existir entre las constantes originales. Si se cumple, el pulso es una onda viajera que se escribe
<center>
<math>
y(x,t) = \dfrac{y_0}{a\,(x-vt)^2 + d}
</math>
</center>
con la velocidad dada por
{| class='bordeado'
| <math>v=\dfrac{b}{2a} </math>
|}

=== Ecuación de onda lineal ===
La ecuación de onda lineal se escribe
<center>
<math>
\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2}
</math>
</center>

Vamos a demostrar que, una vez que se cumple la relación entre coeficientes, la función cumple esta ecuación. La escribimos así
<center>
<math>
y(x,t) = f[\eta(x,t)] = \dfrac{y_0}{a\,\eta^2 + d}
\qquad\qquad
\eta(x,t) = x - vt
</math>
</center>
Calculamos las derivadas usando la regla de la cadena. La derivada parcial respecto a <math>x </math> es
<center>
<math>
\dfrac{\partial y}{\partial x} = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\dfrac{\partial \eta}{\partial x}
=
\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\times 1
=
\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}
</math>
</center>
La segunda derivada es
<center>
<math>
\dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\eta}\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)\dfrac{\partial \eta}{\partial x}
=
\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\times 1
=
\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}
</math>
</center>
La primera derivada parcial respecto al tiempo es
<center>
<math>
\dfrac{\partial y}{\partial t} =\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\dfrac{\partial \eta}{\partial t}
=
\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\times (-v)
=-v\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}
</math>
</center>
Derivando otra vez
<center>
<math>
\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\eta}\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)\dfrac{\partial \eta}{\partial x}
=
-v\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\times (-v)
=
v^2\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}
</math>
</center>
Despejando <math>\mathrm{d}^2f/\mathrm{d}^2\eta </math> en las dos expresiones e igualándolas vemos que se cumple la función de onda.

Otra forma de resolver el primer apartado es obligar a la función original, con los cuatro parámetros <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> y <math>d </math> a cumplir la ecuación de onda. Se puede ver que para que esto ocurra es necesario que se cumpla la relación <math>b^2=4\,a\,c </math>.

=== Valores numéricos ===

Verificamos primero que se cumple la relación necesaria para que el pulso sea una onda. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
b^2 = 0.36\,\mathrm{cm^{-2}s^{-2}} \\ \\
4\,a\,c = 0.36\,\mathrm{cm^{-2}s^{-2}}
\end{array}
</math>
</center>

[[Imagen:pulso-cuerda-problema.gif|right]]

La velocidad de la onda es
<center>
<math>
v = \dfrac{b}{2a} = 30\,\mathrm{cm/s}
</math>
</center>

Para hallar la velocidad de un punto de la cuerda en concreto empleamos la derivada respecto al tiempo

<center><math>\frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}</math></center>

Sustituyendo <math>x</math> = 15 cm

<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15}=-\frac{100(-900+1800t)}{(325-900t+900t^2)^2}</math></center>

Para los tres instantes indicados tenemos

;''t'' = 0.0 s
<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.0}=-\frac{100(-900)}{(325)^2}=0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

:En este instante la partícula se encuentra ascendiendo, pues el pulso está llegando a su posición

;''t'' = 0.5 s:

<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.5}=-\frac{100(-900+1800/2)}{(325-900/2+900/4)^2}=0.000\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

:En este instante el punto se encuentra en el máximo del pulso y por ello su velocidad es nula.

;''t'' = 1.0 s:

<center><math>\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=1.0}=-\frac{100(-900+1800)}{(325-900+900)^2}=-0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>

:En este instante, simétrico respecto al primero, la partícula se encuentra descendiendo y volviendo a su posición de equilibrio.

[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

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