Pedro: Página creada con «= Problemas del boletín = ==Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros== Cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se puede representar como un vector $\vec{g}$ de módulo $|g| = 9.81 \,\mathrm{m/s^2}$ , dirección vertical y sentido hacia abajo. Calcula las componentes de $\vec{g}$ en los cuatro sistemas de refer…»

2023-09-26T09:25:15Z

Página creada con «= Problemas del boletín = ==Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros== Cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se puede representar como un vector <math>\vec{g} </math> de módulo <math>|g| = 9.81 \,\mathrm{m/s^2}</math> , dirección vertical y sentido hacia abajo. Calcula las componentes de <math>\vec{g} </math> en los cuatro sistemas de refer…»

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= Problemas del boletín =
==[[Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros (G.I.C.) |Proyección de la aceleración de la gravedad en cuatro diedros]]==
Cerca de la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se puede representar como un vector <math>\vec{g} </math> de módulo <math>|g| = 9.81 \,\mathrm{m/s^2}</math> , dirección vertical y sentido hacia abajo. Calcula las componentes de <math>\vec{g} </math> en los cuatro sistemas de referencia de la figura.
[[Imagen:Proyeccion_gravedad_enunciado.png|center]]

== [[Proyección de un vector y otro perpendicular a él |Proyección de un vector y otro perpendicular a él ]]==
En estas cuatro configuraciones el vector <math>\vec{b}</math> es perpendicular al vector <math>\vec{a}</math>. Los dos tienen módulo <math>T</math>. Encuentra la expresión de los cuatro vectores en los ejes cartesianos mostrados.
[[File:Vector_a_b_perpendiculares.png]]

==[[Componentes_cartesianas_de_un_vector_(G.I.A.)|Componentes cartesianas de un vector]]==

Calcula las componentes cartesianas de un vector <math>\vec{a}</math> con módulo de 13.0 unidades que forma un
ángulo <math>\gamma=22.6^{\circ}</math> con el eje <math>Z</math> y cuya proyección en el plano <math>XY</math> forma un ángulo
<math>\alpha=37.0^{\circ}</math> con el eje <math>+X</math>. Calcula también los ángulos con los ejes <math>X</math> e <math>Y</math>.

== [[ Ángulo que forman dos vectores (G.I.A.) | Ángulo que forman dos vectores ]] ==
Calcula el angulo que forman los vectores
<math>\vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k}</math>
y
<math>\vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}</math>. Calcula también los cosenos directores de ambos vectores.

==[[Diagonales_de_un_rombo_(G.I.A.)|Diagonales de un rombo]]==

Usando el álgebra vectorial, demuestra que las diagonales de un rombo
se cortan en ángulo recto.

==[[Ángulo_capaz_de_90_(G.I.A.)|Ángulo capaz de 90<sup>o</sup>]]==
Dada una circunferencia de centro <math>O</math> y radio <math>R</math>, y un diámetro
<math>\overline{AB}</math> cualquiera, demuestra que las cuerdas
<math>\overline{PA}</math> y <math>\overline{PB}</math> se cortan perpendicularmente,para
todo punto <math>P</math> perteneciente a la circunferencia (arco capaz
de <math>90^o</math>).

==[[Producto_vectorial_de_dos_vectores_(G.I.A.)|Producto vectorial de dos vectores]]==
Calcula el producto vectorial de los vectores <math>\vec{a}=2.00\,\vec{\imath} +3.00\,\vec{\jmath}-1.00\,\vec{k}</math>, <math>\vec{a}=-1.00\,\vec{\imath} +1.00\,\vec{\jmath}+2.00\,\vec{k}</math>, así como el área del triángulo que forman. Considera que las componentes vienen dadas en metros.

==[[Teoremas_del_seno_y_del_coseno_(G.I.A.) |Teoremas del seno y del coseno]]==
Usando el álgebra vectorial, demuestra el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

==[[Producto_mixto_nulo_(G.I.A.)|Producto mixto nulo]]==

Dados los vectores <math>\vec{A}</math>, <math>\vec{B}</math> y <math>\vec{C}</math>,
demuestra que la relación
<math>\vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C})=0</math>
se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:
#Los tres vectores son colineales.
#Dos de los vectores son colineales.
#<math>\vec{A}</math>, <math>\vec{B}</math> y <math>\vec{C}</math> no son colineales pero sí coplanarios.

==[[Distancia de un punto a un plano_(G.I.A.)|Distancia de un punto a un plano]]==

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre <math>\vec{a} = 2\vec{\imath} +3\vec{\jmath} + 6\vec{k}</math> y que contiene a un punto <math>P</math>, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia <math>OXYZ</math> viene dada por el radio vector <math>\vec{r}=\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+3\vec{k}</math>. Calcula la distancia que separa al origen <math>O</math> de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

==[[Plano definido por dos vectores y un punto y rotación de un vector en el plano]]==

Se tienen los vectores <math>\vec{a}=1.00\vec{\imath} + 1.00\vec{k}</math> y <math>\vec{b} = 1.00\vec{\imath} + 1.00\vec{\jmath}</math>. Encuentra la ecuación del plano que es paralelo a los dos vectores y contiene al origen de coordenadas. Encuentra el vector que resulta de rotar <math>\pi/2</math> el vector <math>\vec{a}</math> en este plano.

==[[Distancia mínima entre dos rectas]]==
Hallar la menor distancia entre las rectas <math>\Delta(A,B)</math> y <math>\Gamma(C,D)</math>, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas <math>A(1,-2,-1)</math> y <math>B(4,0,-3)</math>, para el caso de <math>\Delta</math>, y <math>C(1,2,-1)</math> y <math>D(2,-4,-5)</math>, para la recta <math>\Gamma.</math>

= Otros problemas =

==[[Suma_y_diferencia_de_vectores_(G.I.A.)|Suma y diferencia de vectores]]==
El vector <math>\vec{a}</math> tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de <math>36.0^{\circ}</math> con el eje <math>X</math>, mientras que el vector <math>\vec{b}</math> tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje <math>X</math>. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

==[[Vértices_de_un_tetraedro_(G.I.A.)|Vértices de un tetraedro]]==
[[Imagen:F1_GIA_b02_p08_a.png|right]]
Los puntos <math>O</math>, <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math> son los vértices del tetraedro
regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud
<math>\lambda</math>. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los
siguientes vectores libres:

<center>
<math>
\begin{array}{lllll}
\vec{\omega}_1=\overrightarrow{OA} && \vec{\omega}_2=\overrightarrow{AB} && \vec{\omega}_3=\overrightarrow{BO}\\
\vec{\omega}_4=\overrightarrow{OC} && \vec{\omega}_5=\overrightarrow{AC} && \vec{\omega}_6=\overrightarrow{BC}
\end{array}
</math>
</center>

Para describirlos analíticamente se adopta un sistema de
referencia cartesiano <math>OXYZ</math>, tal que la cara <math>OAB</math> del tetraedro
está contenida en el plano <math>OXY</math>, y el vértice <math>B</math> es un punto del
eje <math>OY</math> (ver figura). Utilizando las herramientas del Álgebra
Vectorial, determina las coordenadas cartesianas de los vértices del
tetraedro.

==[[Volumen de un tetraedro_(G.I.A.)|Volumen de un tetraedro]]==
Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas
cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas
<math>A(0,1,1)</math> y <math>B(2,-1,2)</math>, y que dos de las aristas que concurren en <math>B</math>
están definidas por los vectores libres <math>\vec{v}_1= 2 \vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + \vec{k}</math> y
<math>\vec{v}_2 = 4 \vec{k}</math> (las coordenadas están en metros).

==[[Volumen de un paralelepípedo_(G.I.A.)|Volumen de un paralelepípedo]]==
Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los
vectores <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math> y <math>\overrightarrow{OC}</math>. Las coordenadas
cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas
<math>O(1,0,2)</math>, <math>A(3,2,4)</math>, <math>B(2,6,8) </math> y <math> C(2,-3,1)</math> (unidades
medidas en metros).

== [[Recta soporte de un vector deslizante (G.I.C.) | Recta soporte de un vector deslizante]]==
Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor <math>\vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}</math> y su momento respecto al origen de coordenadas es <math>\overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

==[[ Derivada de un vector (G.I.C.)| Derivada de un vector]] ==
Un punto recorre una circunferencia de radio <math>R</math>, de modo que en cada
instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo <math>\alpha</math> con el eje <math>OX</math>.
#Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>.
#Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>.
# Si el ángulo <math>\alpha</math> depende del tiempo como <math>\alpha=\omega t</math>, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

==[[ Vectores formando un triángulo rectángulo (G.I.C.)| Vectores formando un triángulo rectángulo]] ==
¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?
#<math>
\vec{a} = (-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{b} = (2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{c} = (-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
</math>
#<math>
\vec{a} = (3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{b} = (2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{c} = (5\,\vec{\imath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
</math>
#<math>
\vec{a} = (\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{b} = (-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{c} = (-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
</math>
#<math>
\vec{a} = (3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{b} = (\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
\vec{c} = (2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k})\,\mathrm{m};\quad
</math>

==[[Condiciones sobre producto escalar y vectorial_(G.I.A.)|Condiciones sobre producto escalar y vectorial]]==

Demuestra que si se cumplen simultáneamente las condiciones
#<math>\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{A}\cdot \vec{C}</math>
#<math>\vec{A}\times \vec{B} = \vec{A}\times \vec{C}</math>

siendo <math>\vec{A} \neq 0</math>, entonces <math>\vec{B}= \vec{C}</math>;
pero si sólo se cumple una de ellas, entonces <math>\vec{B} \neq \vec{C}</math>.

==[[Descomposición de un vector (G.I.C.) | Descomposición de un vector]]==
Dados un vector cualquiera <math>\vec{A}</math> y un vector unitario <math>\vec{u}</math>, expresa el vector <math>\vec{A}</math> como la suma de un vector paralelo a <math>\vec{u}</math> y otro perpendicular a <math>\vec{u}</math>.

[[Categoría:Problemas de Álgebra Vectorial]]
[[Categoría:Problemas de Física I (G.I.C.)|1]]

Problemas de vectores libres (GIC) - Historial de revisiones