Antonio: /* Ejemplo de operaciones con dos vectores */

2023-09-22T09:57:48Z

Ejemplo de operaciones con dos vectores

← Revisión anterior		Revisión del 11:57 22 sep 2023
Línea 50:		Línea 50:
	Dados los vectores		Dados los vectores

	<center><math>\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}</math></center>		<center><math>\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k} \qquad\qquad \vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}</math></center>

	# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?		# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?

Antonio: Página creada con «==Arco capaz== Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales. Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB. Arc…»

2023-09-22T09:19:19Z

Página creada con «==Arco capaz== Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y <math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales. Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB. Arc…»

Página nueva

==Arco capaz==
Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y
<math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

[[Arco capaz (GIOI)|Solución]]

==Coseno y seno de una diferencia==
A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

<center>[[Archivo:diferencia-angulos.png]]</center>

[[Coseno y seno de una diferencia|Solución]]

==Teoremas del seno y del coseno==
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

<center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)</math></center>

y del seno

<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}</math></center>

en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>.

<center>[[Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png]]</center>

[[Teoremas del seno y del coseno (GIOI)|Solución]]

==Construcción de una base==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center>

Construya una base ortonormal dextrógira <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}</math>, tal que

# El primer vector, <math>\vec{T}</math>, vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
# El segundo, <math>\vec{N}</math>, esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
# El tercero, <math>\vec{B}</math>, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
# Supongamos un vector que en la base canónica se escribe

<center><math>\vec{F}=-12\vec{k}</math></center>

::¿Cuál es su expresión en la base <math>\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}</math>

[[Construcción de una base (GIOI)|Solución]]

==Ejemplo de operaciones con dos vectores==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}</math></center>

# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
# ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.

[[Ejemplo de operaciones con dos vectores|Solución]]

==Ángulo entre diagonales==
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

[[Ángulo entre diagonales|Solución]]

==Distancia de un vértice a un plano==
Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos?

<center>[[Archivo:cubo-plano.png|240px]]</center>

[[Distancia de un vértice a un plano|Solución]]

==Determinación de un vector a partir de sus proyecciones==
Se tiene un vector conocido, no nulo, <math>\vec{A}</math> y uno que se desea determinar, <math>\vec{X}</math>. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por <math>\vec{A}</math>

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}</math></center>

Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?

[[Determinación de un vector a partir de sus proyecciones|Solución]]

==Cálculo de las componentes de un vector==
De una fuerza <math>\vec{F}_1</math> se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

[[Cálculo de las componentes de un vector|Solución]]

==Base vectorial girada==
Considere la terna de vectores

<center><math>\vec{u}_1 =
\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad
\vec{u}_2 =
-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad
\vec{u}_3 = \vec{k}
</math></center>
# Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
# Halle la transformación inversa, es decir, exprese <math>\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}</math> como combinación de <math>\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}</math>.
# Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}</math> en la nueva base.

[[Base vectorial girada|Solución]]

==Desplazamiento de un momento==
El momento del vector <math>\vec{v}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+\vec{k}</math> respecto al origen de coordenadas vale <math>\vec{M}_O=8\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-6\vec{k}</math>.
# ¿Cuánto vale su momento respecto al punto A(-1,4,1)?
# ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de <math>\vec{v}</math>?

[[Desplazamiento de un momento|Solución]]

Problemas de herramientas matemáticas (GIOI) - Historial de revisiones

Antonio: /* Ejemplo de operaciones con dos vectores */