Pedro: Página creada con «=Problemas de boletín= ==Arco capaz== Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales. Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuen…»

2023-12-11T14:58:03Z

Página creada con «=Problemas de boletín= ==Arco capaz== Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y <math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales. Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuen…»

Página nueva

=Problemas de boletín=
==[[Arco capaz (GIE)|Arco capaz]]==
Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores <math>\overrightarrow{AP}</math> y
<math>\overrightarrow{BP}</math> son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que <math>\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}</math>. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

==[[Coseno y seno de una diferencia]]==
A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

<center>[[Archivo:diferencia-angulos.png]]</center>

==[[Teoremas del seno y del coseno (GIE)|Teoremas del seno y del coseno]]==
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

<center><math>c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)</math></center>

y del seno

<center><math>\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}</math></center>

en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>.

<center>[[Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png]]</center>

==[[Construcción de una base]]==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center>

Construya una base ortonormal dextrógira <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}</math>, tal que

# El primer vector, <math>\vec{T}</math>, vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
# El segundo, <math>\vec{N}</math>, esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
# El tercero, <math>\vec{B}</math>, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

==[[Ejemplo de operaciones con dos vectores]]==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}</math></center>

# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
# ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.

==[[Ángulo entre diagonales]]==
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

==[[Fuerza debida a un globo aerostático]]==
Un globo aerostático está atado al suelo por una cuerda de 50 m y ejerce una fuerza de 2000 N sobre esta cuerda (en la dirección de esta y tirando de ella). El globo se halla a una altura de 30 m y se halla empujado por un fuerte viento del noroeste. Exprese el vector fuerza en la base canónica, si el eje X apunta en la dirección este y el eje Y en la dirección norte.

==[[Formulas vectoriales potencialmente incorrectas]]==
De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de [[ejemplos de cálculo de dimensiones]], <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo:

:(a) <math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math>

:(b) <math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}</math>

:(c) <math>\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}</math>

:(d) <math>(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}</math>

:(e) <math>\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}</math>

:(f) <math>\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}</math>

:(g) <math>L = \vec{r}\times\vec{p}</math>

:(h) <math>\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)</math>

==[[Determinación de un vector a partir de sus proyecciones]]==
Se tiene un vector conocido, no nulo, <math>\vec{A}</math> y uno que se desea determinar, <math>\vec{X}</math>. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por <math>\vec{A}</math>

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}</math></center>

Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar <math>\vec{X}</math>?

==[[Cálculo de las componentes de un vector]]==
De una fuerza <math>\vec{F}_1</math> se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

==[[Base vectorial girada]]==
Considere la terna de vectores

<center><math>\vec{u}_1 =
\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad
\vec{u}_2 =
-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad
\vec{u}_3 = \vec{k}
</math></center>
# Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
# Halle la transformación inversa, es decir, exprese <math>\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}</math> como combinación de <math>\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}</math>.
# Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}</math> en la nueva base.

=[[Preguntas de test de herramientas matemáticas (GIE)|Preguntas de test]]=
==Suma de vectores ligados==
Dados los vectores ligados de la figura,

<center>[[Archivo:suma-ligados-0.png]]</center>

¿cuánto vale su suma vectorial?

{| class="bordeado"
|-
| [[Archivo:suma-ligados-1.png]]
| [[Archivo:suma-ligados-2.png]]
|-
! A
! B
|-
| [[Archivo:suma-ligados-3.png]]
| [[Archivo:suma-ligados-4.png]]
|-
! C
! D
|}

==Ángulo entre dos vectores==
¿Qué ángulo forman los vectores <math>\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}</math> y <math>\vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}</math>?

:* '''A''' 0.00 rad
:* '''B''' 1.07 rad
:* '''C''' 1.57 rad
:* '''D''' 2.07 rad

==Posible igualdad vectorial==
Si <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> son dos vectores unitarios, indique cuándo se cumple la igualdad

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\times\vec{B}</math></center>

:* '''A''' Cuando <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> son paralelos.
:* '''B''' Cuando <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> son ortogonales.
:* '''C''' No se cumple nunca.
:* '''D''' Cuando <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> forman un ángulo de 45°.

==Relación entre vectores==
Si <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> son dos vectores unitarios, indique cuándo se cumple la igualdad

<center><math>\vec{A}\cdot\vec{B} = |\vec{A}\times\vec{B}|</math></center>

:* '''A''' Cuando <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> forman un ángulo de 45°.
:* '''B''' Cuando <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> son paralelos.
:* '''C''' Cuando <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{B}</math> son ortogonales.
:* '''D''' No se cumple nunca.

==Otra posible igualdad vectorial==
Sean <math>\vec{A}</math>, <math>\vec{B}</math> y <math>\vec{C}</math> vectores arbitrarios no nulos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta siempre?

:* '''A''' <math>\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{B}\cdot\vec{A}</math>
:* '''B''' <math>(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} = \vec{A}(\vec{B}\cdot\vec{C})</math>
:* '''C''' <math>\vec{A}\times\vec{B} = \vec{B}\times\vec{A}</math>
:* '''D''' <math>(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C} = \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})</math>

==Área de un triángulo==
Dados tres puntos del espacio A, B y C, siendo O el origen de coordenadas, ¿cómo podemos hallar el área del triángulo que definen?

:* '''A''' <math>\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}</math>
:* '''B''' <math>(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})/2</math>
:* '''C''' <math>|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|/2</math>
:* '''D''' <math>\overrightarrow{OB}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC})</math>

==Comprobación de identidades==
¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente incorrecta? Los símbolos son los usuales en cinemática

:* '''A''' <math>\vec{r}=(\vec{v}-\vec{a}t)/|\vec{a}-\vec{v}t|</math>
:* '''B''' <math>\Delta t=(\Delta \vec{r})/\vec{v}</math>
:* '''C''' <math>R=|\vec{v}|^3/|\vec{v}\times\vec{a}|</math>
:* '''D''' <math>\vec{r}\cdot(\vec{a}\cdot\vec{v})= (\vec{v}\cdot\vec{v})\cdot\vec{v}</math>

==Ángulo entre dos diagonales==
Se tienen dos vectores a lo largo de las diagonales de las caras de un cubo, con el mismo punto de aplicación. ¿Qué ángulo forman?

<center>[[Archivo:diagonales-cubo.png|300px]]</center>

:* '''A''' π/4
:* '''B''' π/6
:* '''C''' π/2
:* '''D''' π/3

==Ecuaciones con vectores==
Dados dos vectores arbitrarios <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math>, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta, en general?

:*'''A''' <math>|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}\cdot\vec{b}|+|\vec{a}\times\vec{b}|</math>
:*'''B''' <math>(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}=\vec{0}</math>
:*'''C''' <math>(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0</math>
:*'''D''' <math>(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}=|\vec{a}|^2\vec{b}</math>

==Ortogonalidad de dos vectores==
Dados dos vectores no nulos, <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math>, ¿cuándo son perpendiculares su suma <math>\vec{a}+\vec{b}</math> y su diferencia <math>\vec{a}-\vec{b}</math>?

:* '''A''' Cuando <math>a</math> y <math>b</math> tienen el mismo módulo.
:* '''B''' Nunca.
:* '''C''' Cuando <math>a</math> y <math>b</math> son paralelos.
:* '''D''' Cuando <math>a</math> y <math>b</math> son ortogonales.

==Ecuación vectorial==
Sea <math>O</math> un punto fijo del espacio, <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{C}</math> dos vectores constantes no nulos y <math>P</math> un punto del espacio que verifica <math>\vec{C}\times\overrightarrow{OP}=\vec{A}</math>. El conjunto de todos los puntos <math>P</math> forma…
:* '''A''' una recta paralela a <math>\vec{C}</math> y que no pasa por O.
:* '''B''' un plano perpendicular a <math>\vec{C}</math>.
:* '''C''' una recta paralela a <math>\vec{C}</math> y que pasa por O.
:* '''D''' un plano perpendicular a <math>\vec{A}</math>.



[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)|0]]
[[Categoría:Herramientas matemáticas (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de Física I (GIE)]]

Problemas de herramientas matemáticas (GIE) - Historial de revisiones