Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR) - Historial de revisiones

Pedro: /* Rotaciones finitas sucesivas de 90° */

2024-10-17T14:33:44Z

Rotaciones finitas sucesivas de 90°

← Revisión anterior		Revisión del 16:33 17 oct 2024
Línea 1:		Línea 1:
			= Problemas del boletín =
			==[[Giro de un triedro (G.I.A.) \| Giro de un triedro ]]==
			[[Imagen:derivadas.gif\|right]]
			Los triedros <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> y <math>OX_0Y_0Z_0</math> están definidos de modo que sus orígenes y los ejes <math>O_1Z_1</math> coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme <math>\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_1 =\omega\,\vec{k}_0</math>, de modo que el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura es <math>\theta = \omega\, t</math>.
			#Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
			#Dado el vector <math>\vec{A}(t) = a\,\vec{\imath}_0</math> calcula
			<center>
			<math>
			\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right\|_1 \qquad\qquad \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right\|_0
			</math>
			</center>
			#Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
			#Haz el mismo cálculo para el vector <math>\vec{B}(t) = b\,t\,\vec{\imath}_0</math>

			==[[ Hélice de un avión que gira (G.I.A.) \| Hélice de un avión que gira ]]==
			[[Imagen:avion_girando.gif\|right]]

			El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro <math>C</math> de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math>. La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es <math>\|\vec{\omega}_{01}\|=\Omega</math>. Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es <math>R</math>, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo <math>\|\vec{\omega}_{20}\|=\omega</math>. Se pide
			#La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
			#Aplicando la composición de velocidades, la velocidad <math>\vec{v}_{21}^P</math> y aceleración <math>\vec{a}_{21}^P</math> del punto más alto de la hélice (punto <math>P</math> en la figura).
			# La reducción cinemática del movimiento {21} en <math>P</math> y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
			# Calcule numéricamente <math>\|\vec{v}_{21}^P\|</math> y <math>\|\vec{a}_{21}^P\|</math> para los valores <math>R=1\,\mathrm{m}</math>, <math>L=100\,\mathrm{m}</math>, <math>\omega=100\,\mathrm{rad/s}</math> y <math>\Omega=1\,\mathrm{rad/s}</math>.

			'''Nota:''' Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

			==[[Barras articuladas con barra fija (Nov. 2019) \| Barras articuladas con barra fija ]]==
			[[File:MRGIC-2019-barras.png\|right]]
			Una barra delgada de longitud <math>2\sqrt{2}b</math> (sólido "0") está articulada en el punto
			fijo <math>O</math>. En el otro extremo de la barra (punto <math>A</math>) se articula otra barra
			(sólido "2") de longitud <math>\sqrt{2}b</math>. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto
			<math>B</math>) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija
			vertical. En todo instante la velocidad del punto <math>B</math> es <math>\vec{v}_0=
			v_0\,\vec{\jmath}_1</math>, con <math>v_0>0</math> y constante. En el instante indicado en la
			figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo <math>\pi/4</math> con la
			barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

			# Determina el vector de posición del punto <math>B</math> es
			# Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
			#Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
			#Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

			= Otros problemas =
	==Rotaciones finitas sucesivas de 90°==		==Rotaciones finitas sucesivas de 90°==
	Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.		Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

Antonio: /* Barra que desliza en eje rotatorio */

2023-11-28T07:21:20Z

Barra que desliza en eje rotatorio

← Revisión anterior		Revisión del 09:21 28 nov 2023
Línea 88:		Línea 88:

	==Barra que desliza en eje rotatorio==		==Barra que desliza en eje rotatorio==
	El armazón de barras paralelas a los ejes ~~OX0~~ y ~~OZ0~~ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ1, de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:		El armazón de barras paralelas a los ejes <math>OX_0</math> y <math>OZ_0</math> (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ1, de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:
	# La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}</math>.		# La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
	# ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?		# ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?

Antonio: /* Esfera en recipiente cilíndrico */

2023-11-23T12:37:38Z

Esfera en recipiente cilíndrico

← Revisión anterior		Revisión del 14:37 23 nov 2023
Línea 99:		Línea 99:
	Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante <math>v_0</math> alrededor del eje vertical.		Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante <math>v_0</math> alrededor del eje vertical.
	Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje <math>{OZ}_1</math>=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano <math>{OX}_0Z_0</math> . Con ayuda de este sistema determine y exprese:		Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje <math>{OZ}_1</math>=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano <math>{OX}_0Z_0</math> . Con ayuda de este sistema determine y exprese:
	# Las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{01}</math>, <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\omega}~~_20~~</math>		# Las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{01}</math>, <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}</math>
	# La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)		# La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
	# Las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}~~_20~~</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>		# Las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>
	# Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.		# Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.
	<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico.png\|400px]]</center>		<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico.png\|400px]]</center>
	[[Esfera en recipiente cilíndrico\|Solución]]		[[Esfera en recipiente cilíndrico\|Solución]]

Antonio: /* Barra que desliza en eje rotatorio */

2023-11-23T11:56:49Z

Barra que desliza en eje rotatorio

← Revisión anterior		Revisión del 13:56 23 nov 2023
Línea 95:		Línea 95:

	[[Barra que desliza en eje rotatorio (CMR)\|Solución]]		[[Barra que desliza en eje rotatorio (CMR)\|Solución]]

			==Esfera en recipiente cilíndrico==
			Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante <math>v_0</math> alrededor del eje vertical.
			Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje <math>{OZ}_1</math>=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano <math>{OX}_0Z_0</math> . Con ayuda de este sistema determine y exprese:
			# Las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{01}</math>, <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\omega}_20</math>
			# La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
			# Las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}_20</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>
			# Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.
			<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico.png\|400px]]</center>
			[[Esfera en recipiente cilíndrico\|Solución]]

Antonio: /* Bola que rueda en carril */

2023-11-22T23:12:14Z

Bola que rueda en carril

← Revisión anterior		Revisión del 01:12 23 nov 2023
Línea 86:		Línea 86:

	[[Bola que rueda en carril (CMR)\|Solución]]		[[Bola que rueda en carril (CMR)\|Solución]]

			==Barra que desliza en eje rotatorio==
			El armazón de barras paralelas a los ejes OX0 y OZ0 (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ1, de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:
			# La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
			# ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?
			# La aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}</math> y las aceleraciones de A, B y G en los movimientos {01}, {20} y {21}
			<center>[[Archivo:Barra-desliza-rota.png\|400px]]</center>

			[[Barra que desliza en eje rotatorio (CMR)\|Solución]]

Antonio: /* Peonza rodante horizontal */

2023-11-22T23:09:08Z

Peonza rodante horizontal

@@ Línea 73: / Línea 73: @@
 # Calcule las aceleraciones en los movimientos {31} y {32} de los puntos A, G y D del apartado (3).
 <center>[[Archivo:Peonza-rodante-horizontal.png|400px]]</center>
 [[Peonza rodante horizontal (CMR)|Solución]]

Antonio: /* Peonza rodante oblicua */

2023-11-22T23:07:42Z

Peonza rodante oblicua

← Revisión anterior		Revisión del 01:07 23 nov 2023
Línea 59:		Línea 59:
	# La aceleración angular del sólido.		# La aceleración angular del sólido.
	# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.		# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.
	<center>[[Archivo:Peonza-rodante.png\|400px]] [[Archivo:Peonza-rodante-b.png~~\|400px~~]]</center>		<center>[[Archivo:Peonza-rodante.png\|400px]] [[Archivo:Peonza-rodante-b.png]]</center>

	Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “0” que simplemente gira en torno al eje OZ_1, de manera que el eje OX_0 siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.		Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “0” que simplemente gira en torno al eje OZ_1, de manera que el eje OX_0 siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.

	[[Peonza rodante oblicua (CMR)\|Solución]]		[[Peonza rodante oblicua (CMR)\|Solución]]

			==Peonza rodante horizontal==
			Un disco de radio ''R'' (“sólido 3”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud ''h'' (“sólido 2”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura ''R''. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal <math>z=0</math> (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje <math>{OX}_2</math> es a lo largo de la barra horizontal y <math>{OZ}_2={OZ}_1</math> en todo momento. Sea <math>\phi(t)</math> el ángulo que el eje <math>{OX}_2</math> forma con el <math>{OX}_1</math>. En un instante dado <math>\phi=0\,</math>,<math>\dot{\phi}=\Omega</math>,<math>\ddot{\phi}=\alpha</math>. Para ese instante:
			# Determine los vectores <math>\vec{\omega}_{21}</math>, <math>\vec{\omega}_{31}</math> y <math>\vec{\omega}_{32}</math>.
			# Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {21}, {32} y {31}.
			# Calcule las velocidades en el movimiento {31} y el {21} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
			# Halle las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{21}</math>, <math>\vec{\alpha}_{32}</math> y <math>\vec{\alpha}_{31}</math>.
			# Calcule las aceleraciones en los movimientos {31} y {32} de los puntos A, G y D del apartado (3).
			<center>[[Archivo:Peonza-rodante-horizontal.png\|400px]]</center>
			[[Peonza rodante horizontal (CMR)\|Solución]]

Antonio: /* Peonza rodante oblicua */

2023-11-22T22:59:38Z

Peonza rodante oblicua

← Revisión anterior		Revisión del 00:59 23 nov 2023
Línea 59:		Línea 59:
	# La aceleración angular del sólido.		# La aceleración angular del sólido.
	# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.		# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.
	<center>[[Archivo:Peonza-rodante.png\|400px]]</center>		<center>[[Archivo:Peonza-rodante.png\|400px]] [[Archivo:Peonza-rodante-b.png\|400px]]</center>

			Sugerencia: Introduzca un sólido intermedio “0” que simplemente gira en torno al eje OZ_1, de manera que el eje OX_0 siempre pasa por el O y por el punto de contacto con el suelo.

	[[Peonza rodante oblicua (CMR)\|Solución]]		[[Peonza rodante oblicua (CMR)\|Solución]]

Antonio: /* Peonza rodante oblicua */

2023-11-22T22:34:27Z

Peonza rodante oblicua

← Revisión anterior		Revisión del 00:34 23 nov 2023
Línea 52:		Línea 52:

	==Peonza rodante oblicua==		==Peonza rodante oblicua==
	Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,\mathrm{cm}</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm/s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano ~~OXY~~, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.		Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,\mathrm{cm}</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje <math>OZ_1</math> con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm/s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano <math>OX_1Y_1</math>, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.
	Para este movimiento, determine~~, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX~~:		Para este movimiento, determine:

	# La velocidad angular del sólido en el movimiento {21}.		# La velocidad angular del sólido en el movimiento {21}.
	# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.		# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.

Antonio: /* Velocidad relativa de dos vagones */

2023-11-22T22:31:07Z

Velocidad relativa de dos vagones

← Revisión anterior		Revisión del 00:31 23 nov 2023
Línea 50:		Línea 50:
	</table>		</table>
	[[Velocidad relativa de dos vagones\|Solución]]		[[Velocidad relativa de dos vagones\|Solución]]

			==Peonza rodante oblicua==
			Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,\mathrm{cm}</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm/s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.
			Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:
			# La velocidad angular del sólido en el movimiento {21}.
			# La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.
			# La aceleración angular del sólido.
			# La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.
			<center>[[Archivo:Peonza-rodante.png\|400px]]</center>
			[[Peonza rodante oblicua (CMR)\|Solución]]