Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Una partícula de masa $m$ desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo $\alpha$ sobre la horizontal. La partícula parte desde el origen con una velocidad paralela a la base del plano y módulo $v_0$ , como se indica en la figura. #Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. #Determina la velocidad de la partícula en cada instante. #Determin…»

2023-10-25T16:32:49Z

Página creada con «== Enunciado == right Una partícula de masa <math>m </math> desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo <math>\alpha </math> sobre la horizontal. La partícula parte desde el origen con una velocidad paralela a la base del plano y módulo <math>v_0 </math>, como se indica en la figura. #Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. #Determina la velocidad de la partícula en cada instante. #Determin…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:Plano_inclinado_2D_enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m </math> desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo <math>\alpha </math> sobre la horizontal. La partícula parte desde el origen con una velocidad paralela a la base del plano y módulo <math>v_0 </math>, como se indica en la figura.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
#Determina la velocidad de la partícula en cada instante.
#Determina la posición de la partícula en cada instante.
#Calcula el tiempo que tarda en llegar a la base del plano inclinado.
#¿Qué tipo de curva describe la partícula?

== Solución ==

=== Diagrama de fuerzas ===
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso y la fuerza de reacción vincular del plano. Esta fuerza es perpendicular al plano, pues no hay rozamiento. La figura a la derecha muestra estas fuerzas.
[[Imagen:Plano_inclinado_2D_fuerzas.png|right]]

=== Velocidad de la partícula ===
Para determinar la velocidad hemos de calcular la aceleración de la partícula en cada instante. Para ellos expresamos las fuerzas en los ejes de la figura anterior. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = m\vec{g} = mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - mg\cos\alpha\,\vec{j}\\ \\
\vec{\Phi} = \Phi\,\vec{\jmath}
\end{array}
</math>
</center>
Coma la partícula no se separa del plano la velocidad no tiene componente en el eje <math>Y </math>, pero sí puede tenerla en el eje <math>Z </math> que se muestra en la figura del enunciado. Por tanto la velocidad en cada instante es de la forma
<center>
<math>
\vec{v}(t) = v_x(t)\,\vec{\imath} + v_z(t)\,\vec{k}
</math>
</center>
Derivando respecto al tiempo obtenemos la aceleración
<center>
<math>
\vec{a}(t) = a_x(t)\,\vec{\imath} + a_z(t)\,\vec{k}
</math>
</center>
Ahora podemos aplicar la Segunda Ley de Newton
<center>
<math>
m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{\Phi}
</math>
</center>
Esta ecuación vectorial implica tres ecuaciones escalares
<center>
<math>
\begin{array}{llcl}
(X):& \quad ma_x = mg\,\mathrm{sen}\,\alpha &\to& a_x = g\,\mathrm{sen}\,\alpha \\
&&\\
(Y):& \quad 0=\Phi - mg\cos\alpha & \to & \Phi = mg\cos\alpha \\
&&\\
(Z):& \quad ma_z = 0 &\to & a_z = 0
\end{array}
</math>
</center>
Así pues la aceleración de la partícula en cada instante es constante e igual a
<center>
<math>
\vec{a} = g\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath}
</math>
</center>
Una vez que tenemos la aceleración podemos calcular la velocidad integrando en el tiempo
<center>
<math>
\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}
\to
\left\{
\begin{array}{l}
v_x(t) = v_x(0) + \int\limits_0^ta_x\,\mathrm{d}t
\\
v_y(t) = v_y(0) + \int\limits_0^ta_y\,\mathrm{d}t
\\
v_z(t) = v_z(0) + \int\limits_0^ta_z\,\mathrm{d}t
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Las componentes de la aceleración son cero en las direcciones <math>Y
</math> y <math>Z </math> y constante en la dirección <math>X </math>. Por otro lado la velocidad inicial es
<center>
<math>
\vec{v}(0) = 0\,\vec{\imath} + 0\,\vec{\jmath} + v_0\,\vec{k}
</math>
</center>
Con todo esto la velocidad en función del tiempo es
<center>
<math>
\vec{v}(t) = g\,\mathrm{sen}\,\alpha\,t\,\vec{\imath} + v_0\,\vec{k}
</math>
</center>
El resultado es exactamente igual al del tiro parabólico, pero con una aceleración atenuada por la presencia del plano inclinado.

=== Posición ===
Integrando la velocidad obtenemos la posición de la partícula en función del tiempo
<center>
<math>
\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}
\to
\left\{
\begin{array}{l}
r_x(t) = r_x(0) + \int\limits_0^tv_x\,\mathrm{d}t
\\
r_y(t) = r_y(0) + \int\limits_0^tv_y\,\mathrm{d}t
\\
r_z(t) = r_z(0) + \int\limits_0^tv_z\,\mathrm{d}t
\end{array}
\right.
</math>
</center>
La partícula parte del origen, por lo que la posición inicial es
<center>
<math>
\vec{r}(0) = 0\,\vec{\imath} + 0\,\vec{\jmath} + 0\,\vec{k}
</math>
</center>
Integrando obtenemos
<center>
<math>
\vec{r}(t) = \dfrac{1}{2}g\,\mathrm{sen}\,\alpha\,t^2\,\vec{\imath}
+
v_0t\,\vec{k}
</math>
</center>
=== Tiempo en llegar a la base del plano ===
Cuando la partícula llegue a la base del plano su coordenada <math>X </math> valdrá
<center>
<math>
x_f = \dfrac{L}{\cos\alpha}
</math>
</center>
De la componente <math>X </math> del vector de posición obtenemos el tiempo de llegada
<center>
<math>
\dfrac{1}{2}g\,\mathrm{sen}\,\alpha\,t_f^2 = \dfrac{L}{\cos\alpha}
\Longrightarrow
t_f = \sqrt{\dfrac{2L}{g\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}}
</math>
</center>

=== Curva descrita ===
El movimiento de la partícula es una superposición de un movimiento uniforme sobre el eje <math>Z </math> y un movimiento uniformemente acelerado sobre el eje <math>X </math>. Es un tiro parabólico, y la curva descrita es una parábola.

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Plano inclinado bidimensional, Noviembre 2013 (G.I.C.) - Historial de revisiones