Pedro: Página creada con «==Enunciado== Sabiendo que el momento de inercia de una chapa rectangular de masa m, base b y altura h respecto a un eje tangente a la chapa, paralelo a la base por su centro es $I_{XX}=mh^2/12$ : # Halle el tensor de inercia de una chapa de masa $m=1.20\,\mathrm{kg}$ , $b=30\,\mathrm{cm}$ y $h=40\,\mathrm{cm}$ respecto a un triedro ortogonal cuyos ejes pasan por el centro de la chapa y $OX_2$ y $OY_2$ so…»

2024-09-04T14:50:50Z

Página creada con «==Enunciado== Sabiendo que el momento de inercia de una chapa rectangular de masa m, base b y altura h respecto a un eje tangente a la chapa, paralelo a la base por su centro es <math>I_{XX}=mh^2/12</math>: # Halle el tensor de inercia de una chapa de masa <math>m=1.20\,\mathrm{kg}</math>, <math>b=30\,\mathrm{cm}</math> y <math>h=40\,\mathrm{cm}</math> respecto a un triedro ortogonal cuyos ejes pasan por el centro de la chapa y <math>OX_2</math> y <math>OY_2</math> so…»

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==Enunciado==
Sabiendo que el momento de inercia de una chapa rectangular de masa m, base b y altura h respecto a un eje tangente a la chapa, paralelo a la base por su centro es <math>I_{XX}=mh^2/12</math>:
# Halle el tensor de inercia de una chapa de masa <math>m=1.20\,\mathrm{kg}</math>, <math>b=30\,\mathrm{cm}</math> y <math>h=40\,\mathrm{cm}</math> respecto a un triedro ortogonal cuyos ejes pasan por el centro de la chapa y <math>OX_2</math> y <math>OY_2</math> son paralelos a los lados.
Suponga que esta chapa se monta sobre un eje fijo “1” que pasa por su diagonal y que está articulado mediante rodamientos sin fricción. Los rodamientos se hallan, cada uno de ellos, a una distancia de 60cm del centro de la chapa. Si la chapa se hace girar con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_{21}=100\,\vec{\jmath}_1</math> (rad\/s), halle:
<ol start="2">
<li>El momento cinético respecto al centro de la chapa.</li>
<li>La energía cinética de la chapa.</li>
<li>El par aplicado respecto al CM para mantener el sistema en movimiento.</li>
<li>La fuerza que la placa ejerce sobre los rodamientos en su rotación, suponiendo que estas fuerzas son puramente ortogonales al eje.</li>
</ol>
Puede despreciarse el efecto del peso. Puede emplearse un sistema intermedio “0” que gira con la misma velocidad angular pero que tiene su eje <math>OY_0</math> coincidente con el <math>OY_1</math>

<center>[[Archivo:placa-rectangular.png|300px]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:placa-rectangular-giratoria.png|300px]]</center>
==Tensor de inercia==
Para el eje <math>OX_2</math>

<center><math>I_{XX}=\frac{mh^2}{12}=\frac{1.2\times 0.40^2}{12}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2 = 0.016\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2</math></center>

Para el eje <math>OY_2</math>

<center><math>I_{YY}=\frac{mb^2}{12}=\frac{1.2\times 0.30^2}{12}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2 = 0.009\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2</math></center>

Para el eje <math>OZ_2</math>, por ser una figura plana

<center><math>I_{ZZ}=I_{XX}+I_{YY}=0.025\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2</math></center>

Los tres ejes son principales, por ser perpendiculares a planos de simetría, por lo que los productos de inercia son nulos. Por tanto

<center><math>\bar{\bar{I}}=\begin{pmatrix}0.016 & 0 & 0 \\ 0 & 0.009 & 0 \\ 0 & 0 & 0.025\end{pmatrix}\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2</math></center>

==Momento cinético==
Por tratarse de ejes principales, en el sistema 2 se cumple

<center><math>\vec{L}_O=I_{XX}\omega_X\vec{\imath}_2+I_{YY}\omega_Y\vec{\jmath}_2+I_{ZZ}\omega_Z\vec{k}_2</math></center>

Solo hay que pasar <math>\vec{\omega}_{21}</math> a esa base

<center><math>\vec{\omega}_{21}=100\vec{\jmath}_1=\omega_X\vec{\imath}_2+\omega_Y\vec{\jmath}_2</math></center>

Como

<center><math>\vec{\jmath}_1=\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}_2+\cos(\beta)\vec{\jmath}_2=0.60\vec{\imath}_2+0.80\vec{\jmath}_2</math></center>

queda

<center><math>\vec{\omega}=60\vec{\imath}_2+80\vec{\jmath}_2\ (\mathrm{rad}/\mathrm{s})</math></center>

y

<center><math>\vec{L}_O=0.016\times 60\vec{\imath}_2+0.009\times 80\vec{\jmath}_2=0.96\vec{\imath}_2+0.72\vec{\jmath}_2\ (\mathrm{J}\cdot\mathrm{s})</math></center>

<center>[[Archivo:placa-giratoria-03.png|300px]]</center>
==Energía cinética==
La energía cinética es

<center><math>T=\frac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{L}_O=\frac{1}{2}(60\times 0.96+80\times 0.72)\mathrm{J}=57.6\,\mathrm{J}</math></center>
==Par aplicado==
Por el teorema del momento cinético, dado que este gira con la placa y es constante en el sistema 2

<center><math>\vec{M}_O=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_2+\vec{\omega}_{21}\times \vec{L}_O=\vec{0}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_2&\vec{\jmath}_2&\vec{k}_2\\ 60 & 80 & 0 \\ 0.96 & 0.72 & 0 \end{matrix}\right|=-33.6\vec{k}_2 (\mathrm{N}\cdot\mathrm{m})</math></center>

==Fuerza sobre los rodamientos==
Este par es producido por las fuerzas ejercidas por los rodamientos. Como el centro de masas está inmóvil, la resultante debe ser nula y tenemos un par de fuerzas. Para que el momento de el resultado anterior debe ser, empleando el sistema "0"

<center><math>-33.6\vec{k}_0=\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times \vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B=(0.60\vec{\jmath}_0)\times(F_A\vec{\imath}_0)+(-0.60\vec{\jmath}_0)\times(-F_A\vec{\imath}_0)=-1.20F_A\vec{k}_0</math></center>

y por tanto

<center><math>F_A=28\,\mathrm{N}\qquad\qquad \vec{F}_A=+28\vec{\imath}_0\qquad\qquad \vec{F}_B=-28\vec{\imath}_0</math></center>

Esta sería la fuerza que los rodamientos ejercen sobre el eje. Por la tercera ley de Newton, la fuerza sobre los rodamientos será la opuesta

<center><math>\vec{F}_{\to A}=-28\vec{\imath}_0\qquad\qquad \vec{F}_{\to B}=+28\vec{\imath}_0</math></center>

Placa rectangular giratoria (CMR) - Historial de revisiones