Pedro: Página creada con «== Enunciado == 300px El cuadrado de la figura (sólido "0") realiza un movimiento plano cuando uno de sus lados desliza sobre un plano horizontal fijo (sólido "1"). El cuadrado empuja a un disco de radio $R$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1". # Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura. # Determine las reducciones cinemá…»

2023-09-26T14:14:37Z

Página creada con «== Enunciado == right|300px El cuadrado de la figura (sólido "0") realiza un movimiento plano cuando uno de sus lados desliza sobre un plano horizontal fijo (sólido "1"). El cuadrado empuja a un disco de radio <math>R</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1". # Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura. # Determine las reducciones cinemá…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_placa_disco_enunciado.png|right|300px]]
El cuadrado de la figura (sólido "0") realiza un movimiento plano cuando uno de sus lados desliza sobre un plano horizontal fijo (sólido "1").
El cuadrado empuja a un disco de radio <math>R</math> (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1".
# Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura.
# Determine las reducciones cinemáticas de los movimientos en el instante en que la velocidad absoluta del punto <math>A</math> del sólido "0" es <math>\vec{v}_{01}^A = v\vec{\imath_1}</math>.
# Si el sistema parte del reposo y el punto <math>A</math> del sólido "0" realiza un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración <math>a_0</math>, obtenga la expresión en función del tiempo del vector rotación <math>\vec{\omega}_{21}(t)</math> y su derivada temporal <math>\vec{\alpha}_{21}(t)</math>.
# En las condiciones del apartado anterior, calcule la expresión de la aceleración <math>\vec{a}_{21}^D</math>, así como la velocidad y aceleración relativa <math>\vec{v}_{20}^B</math> y <math>\vec{a}_{20}^B</math>.

== Solución ==
===Determinación gráfica de los C.I.R. ===

El disco desliza con una de sus caras siempre apoyada sobre el suelo. Por tanto el
movimiento {01} es una traslación permanente. Esto quiere decir
que <math>I_{01} </math> está en el infinito en dirección perpendicular a la velocidad <math>\vec{v}_{01} </math>, ya sea hacia arriba o
hacia abajo.

[[Imagen:F1_GIA_placa_disco_CIR.png|right|300px]]
Por otro lado, el disco "2" rueda sin deslizar sobre el suelo. Esto quiere decir que en el punto de contacto la velocidad relativa entre los dos
sólidos es nula, <math>\vec{v}^D_{21}=\vec{0} </math> y el C.I.R. del movimiento {21} está en el punto <math>D </math>, es decir,
<math>I_{21}\equiv D </math>. La figura de la derecha muestra la localización de estos C.I.R.

El teorema de los tres centros nos dice que <math>I_{20} </math> debe estar sobre la línea que une <math>I_{21} </math> y <math>I_{01} </math>, la línea
vertical que se muestra en la figura. Por otro lado, podemos saber la dirección de la velocidad <math>\vec{v}^B_{20} </math>. Al avanzar, el
cuadrado empuja al disco hacia la derecha. Por tanto el punto <math>B </math> debe desplazarse hacia arriba, esto es, <math>\vec{v}^B_{20} </math>
es paralela al eje <math>Y_1 </math>. El corte de la línea perpendicular a <math>\vec{v}^B_{21} </math> trazada en <math>B </math> con la línea
que une <math>I_{21} </math> y <math>I_{01} </math> nos da la posición de <math>I_{20} </math>. Como vemos en la figura, <math>I_{20}\equiv C </math>.

===Reducciones cinemáticas de los movimientos ===

====Movimiento {01} ====
Este es una traslación permanente. La velocidad angular es nula y la velocidad de todos
los puntos de sólido "0" es la misma. El enunciado nos dice
que <math>\vec{v}^A_{01}=v\vec{\imath_1} </math>. Entonces la reducción es
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}=v\vec{\imath_1}
</math></center>
La velocidad no se adscribe a ningún punto concreto porque todos los puntos del sólido tienen la misma.
[[Imagen:F1_GIA_placa_disco_movimientos.png|right|300px]]

====Movimiento {21} ====

El disco rueda sin deslizar sobre el punto <math>D </math>. Entonces <math>\vec{v}^D_{21}=\vec{0} </math>. El vector velocidad angular
es de la forma <math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k} </math>, pues es un movimiento plano. Para determinar el valor de
<math>\omega_{21} </math> nos fijamos en que el punto <math>C </math> del sólido "2" realiza una traslación permanente. Además su posición
relativa respecto al punto <math> A</math> no cambia. Por tanto <math>\vec{v}^C_{21}=v\vec{\imath_1} </math>. Usando la ecuación del campo de
velocidades del movimiento {21} tenemos
<center><math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^C_{21}=v\,\vec{\imath_1}\\ \\
\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DC}=\vec{0}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath_1})=
-\omega_{21}R\,\vec{\imath_1}
\end{array}
\right| \Longrightarrow \omega_{21}=-v/R
</math></center>
Nos queda entonces que la reducción cinemática del movimiento {21} es
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=-\frac{v}{R}\,\vec{k},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^D_{21}=\vec{0}
</math></center>

====Movimiento {20} ====

Para reducir este movimiento usamos la composición de movimientos
<center><math>
\{20\}=\{21\}+\{10\}
</math></center>
Para la velocidad angular tenemos
<center><math>
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} + \vec{\omega}_{10} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\frac{v}{R}\,\vec{k}
</math></center>
Obtenemos la velocidad de este movimiento en el punto <math>C </math>
<center><math>
\vec{v}^C_{20} = \vec{v}^C_{21} + \vec{v}^C_{10} = \vec{v}^C_{21} - \vec{v}^C_{01} = v\,\vec{\imath_1}-v\,\vec{\imath_1}=\vec{0}
</math></center>
Así pues, la reducción queda
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=-\frac{v}{R}\,\vec{k},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}^C_{20}=\vec{0}
</math></center>

===El cuadrado se desliza con aceleración uniforme ===
El movimiento {01} es una traslación, por lo que en cada instante de tiempo tenemos
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=\vec{0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_{01}(t)=v(t)\,\vec{\imath_1}
</math></center>
Al ser un movimiento uniformemente acelerado y partir del reposo, la velocidad <math> v(t)</math> es
<center><math>
v(t) = a_0t
</math></center>
Como hemos visto en el apartado anterior, la posición relativa del punto <math>C </math> del sólido
"2" respecto al cuadrado no cambia, por
lo que en todo instante se cumple
<center><math>
\vec{v}^C_{21}(t) = v(t)\,\vec{\imath_1}
</math></center>
En todo instante el disco rueda sin deslizar, por lo que si llamamos <math>D^{*} </math> al punto de contacto instantáneo del disco con el
suelo, para cada instante de tiempo se cumple
<center><math>
\vec{v}^{D^*}_{21}=\vec{0} = \vec{v}^C_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD}=
v\,\vec{\imath_1}+(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-R\,\vec{\jmath_1})=(v+\omega_{21}R)\,\vec{k}
</math></center>
Como esta relación se cumple para todo <math>t </math>, obtenemos
<center><math>
\vec{\omega}_{21}(t) = -\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}=-\frac{a_0t}{R}\,\vec{k}
</math></center>
La aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21} </math> se obtiene derivando respecto al tiempo
<center><math>
\vec{\alpha}_{21} = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -\frac{a_0}{R}\,\vec{k}
</math></center>

===Apartado 4 ===

En el apartado anterior hemos visto que en todo instante <math>\vec{v}^C_{21}(t)=a_0t\,\vec{\imath_1} </math>. Derivando respecto al tiempo obtenemos
<center><math>
\vec{a}^C_{21} = \left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^C_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = a_0\,\vec{\imath_1}
</math></center>
Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} tenemos, teniendo en cuenta que es un movimiento plano
<center><math>
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \vec{a}^D_{21}&=&\vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CD}-|\omega_{21}|^2\overrightarrow{CD}\\ && \\
\displaystyle &=&\displaystyle a_0\,\vec{\imath_1} + \left(-\frac{a_0}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\jmath_1}) -\frac{a_0^2t^2}{R^2}(-R\,\vec{\jmath_1})\\
&&\\
&=&\displaystyle \frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\jmath_1}=\omega^2_{21}(t)R\,\vec{\jmath_1}
\end{array}
</math></center>
Calculamos <math>\vec{v}^B_{20} </math> a partir de <math>\vec{v}^C_{20} </math>, la ecuación del campo de
velocidades del movimiento {20} y la
composición de movimientos {20} = {21} + {10}
<center><math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^B_{20} = \vec{v}^C_{20}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}\\ \\
\displaystyle \vec{v}^C_{20}= \vec{0}\\ \\
\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=-\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}
\end{array}
\right|\Longrightarrow
\vec{v}^B_{20} = \left(-\frac{v(t)}{R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\imath_1})=v(t)\,\vec{\jmath_1}=a_0t\,\vec{\jmath_1}
</math></center>
La ley de composición de velocidades angulares es válida para todo <math>t </math>, por lo que puede usarse sin problemas.

Por último, calculamos <math>\vec{a}^B_{20} </math> a partir de la composición de movimientos
{21} = {20} + {01}
[[Imagen:F1_GIA_placa_disco_4.png|right|300px]]
<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{a}^B_{21}&=&\vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01} +2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}\\ \\
&&\displaystyle\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^C_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{CB}-|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{CB}=
\left(a_0+\frac{v^2(t)}{R}\right)\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}=\left(a_0+\frac{a_0^2t^2}{R}\right)\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}\\ && \\
&&\vec{a}^B_{01}=a_0\,\vec{\imath_1}\\ && \\
&&2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=\vec{0} \,\, (\vec{\omega}_{01}=\vec{0})
\end{array}
</math></center>
Despejando obtenemos
<center><math>
\vec{a}^B_{20} = \vec{a}^B_{21}-\vec{a}^B_{01} = \frac{v^2(t)}{R}\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}=\frac{a_0^2t^2}{R}\,\vec{\imath_1}+a_0\,\vec{\jmath_1}
</math></center>

[[Categoría: Problemas de movimiento plano]]

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