Piedra y pájaro que se mueven verticalmente - Historial de revisiones

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante $v_1$ . Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando $g=9.8$ m/s²: # Calcule el máximo valor de $v_1$
2023-09-21T15:30:56Z

Página creada con «==Enunciado== Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante <math>v_1</math>. Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando <math>g=9.8</math> m/s²: # Calcule el máximo valor de <math>v_1</…»

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==Enunciado==
Desde un punto a una altura 1.4 m respecto al suelo, un niño lanza verticalmente una piedra contra un pájaro que está 1.6 m más arriba. La velocidad inicial de la piedra es de 7.0 m/s. Tal como lanza la piedra, el pájaro sale volando hacia arriba con velocidad constante <math>v_1</math>.

Despreciando el rozamiento del aire sobre la piedra y tomando <math>g=9.8</math> m/s²:

# Calcule el máximo valor de <math>v_1</math> con que asciende el pájaro, si la piedra es capaz de alcanzarle.
# Suponiendo que ha volado con esta velocidad máxima, calcule la velocidad instantánea de la piedra y del pájaro en el momento del impacto, así como la velocidad media de cada uno desde el lanzamiento hasta ese momento.
# Si en lugar de darle la piedra falla por poco y continúa su vuelo, ¿hasta que altura respecto al suelo llega? ¿Qué velocidad tiene cuando impacta de nuevo con el suelo?

==Máximo valor de ''v''<sub>1</sub>==
Para que la piedra alcance al pájaro, debe coincidir en la misma posición en el mismo instante.

La posición instantánea del pájaro es, empleando siempre el SI,

<center><math>z_B = h_1 + v_1 t = 3.0 + v_1 t\,</math></center>

y la de la piedra

<center><math>z_P = h_2 + v_2t - \frac{1}{2}gt^2 = 1.4+7.0t-4.9t^2</math></center>

Igualando ambas posiciones queda una ecuación de segundo grado

<center><math>3.0 + v_1 t = 1.4+7.0t-4.9t^2 \qquad\Rightarrow\qquad 4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0</math></center>

Esta ecuación no es suficiente para determinar el máximo valor de <math>v_1</math>, ya que tenemos una ecuación y dos incógnitas.

Veamos primero que existe una velocidad máxima. Si no hubiera pájar, la piedra llegaría hasta una altura de 3.9 m (hallando el máximo de <math>z_P</math>), con lo cual, si el pájaro se quedara quieto (<math>v_1=0</math>), le alcanzaría seguro. Si el pájaro sale volando con velocidad <math>v_1=7</math> (la inicial de la piedra) seguro que no le alcanzaría nunca, pues la piedra se va frenando y el pájaro sube a velocidad constante. Por tanto, debe haber algún valor entre 0 m/s y 7 m/s que es el máximo con el que se le puede dar.

El detalle clave es observar que para que la piedra impacte con el pájaro su velocidad debe ser superior o como mucho igual a la de éste. Si el pájaro va más rápido que la piedra, esta no lo alcanza. El valor máximo será entonces el de la igualdad entre la de la piedra y la del pájaro.

Gráficamente, corresponde a que, en la gráfica x(t), la recta que da el movimiento del pájaro sea tangente a la parábola de la piedra, con lo que la pendiente de la recta (<math>v_1</math>) debe coincidir con la pendiente de la parábola (<math>v_P(t)</math> en ese instante).

<center>[[Archivo:piedra-pajaro.png|400px]]</center>

Esto nos da la ecuación

<center><math>v_1 = 7.0-9.8t\,</math></center>

que junto con la igualdad de las posiciones nos da el sistema

<center><math>\left\{\begin{array}{l}4.9t^2 +(v_1-7.0)t+1.6=0\\
9.8t +(v_1-7.0)=0\end{array}\right. </math></center>

Multiplicando la segunda por t y restándola de la primera llegamos al instante de impacto

<center><math>-4.9t^2+1.6=0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{4}{7}=0.571\,\mathrm{s}</math></center>

y a la velocidad

<center><math>v_1=1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

;Solución alternativa: Otra forma de llegar a este resultado, si no se ha llegado a la condición para la velocidad, es observar que la ecuación para la posición es una de segundo grado en t, con soluciones

<center><math>t = \frac{(7.0-v_1) \pm\sqrt{(7.0-v_1)^2 - 4\times 1.6\times 4.9}}{2\times 4.9}=\frac{(7.0-v_1)\pm\sqrt{(7.0-v_1)^2-31.36}}{9.8}</math></center>

Esta solución no siempre es real, ya que lo que hay dentro de la raíz puede hacerse negativo. Cuando esto ocurre quiere decir que no hay solución y la piedra no alcanza al pájaro.

El máximo valor posible de <math>v_1</math> será entonces el que anule esta cantidad

<center><math>(7.0-v_1)^2 - 31.36 = 0\qquad\Rightarrow\qquad 7.0-v_1 = 5.6 \qquad\Rightarrow\qquad v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Para esta velocidad, el tiempo que tarda en impactar es

<center><math>t = \frac{7.0-1,4}{9.8}\mathrm{s} = \frac{5.6}{9.8}\mathrm{s} = \frac{4}{7}\mathrm{s} = 0.571\,\mathrm{s}</math></center>

==Velocidades medias==
===Del pájaro===
Puesto que se mueve a velocidad constante, la velocidad media coincide con la instantánea

<center><math>v_{m1} = v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

===De la piedra===
Podemos calcular esta velocidad media de varias formas. La más directa es desplazamiento dividido por intervalo. El punto de impacto se produce en

<center><math>z_2 = 1.4 + 7.0\frac{4}{7}-4.9\left(\frac{4}{7}\right)^2 = 3.8\,\mathrm{m}</math></center>

lo que da una velocidad media

<center><math>v_{m2}=\frac{\Delta z_2}{\Delta t} = \frac{3.8-1.4}{4/7} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

;Solución alternativa: Puesto que se trata de un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad media coincide con la media de las velocidades extremas

<center><math>v_{m2}=\frac{7.0+1.4}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

:donde hemos hecho uso que para la velocidad máxima posible, coinciden la de la piedra y la del pájaro en el momento del impacto.
==Movimiento de la piedra==
Para este apartado no hacen falta los dos anteriores. La ecuación horaria de la piedra es

<center><math>z = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\,</math></center>

que alcanza el máximo cuando la velocidad se anula

<center><math>0 = v_z = \dot{z}= 7.0-9.8 t\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5}{7}\,\mathrm{s} = 0.714\,\mathrm{s}</math></center>

y en ese instante su altura es

<center><math>z_{2\mathrm{max}} = 1.4 + 7.0\frac{5}{7}-4.9\left(\frac{5}{7}\right)^2 = 3.9\,\mathrm{m}</math></center>

;Solución alternativa: esto se puede resolver observando que

<center><math>-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad z = z_0+\frac{v_{20}^2}{2g}</math></center>

La partícula impacta en el suelo cuando <math>z=0</math>. Esto ocurre en el instante

<center><math>0 = 1.4+7.0 t - 4.9t^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{5 + \sqrt{39}}{7} = 1.606\,\mathrm{s}</math></center>

y la velocidad en ese momento es

<center><math>v_{2i} = 7(5-\sqrt{39})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = -8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

;Solución alternativa: puede resolverse sin emplear el tiempo, haciendo uso de la relación

<center><math>-g =\frac{1}{\Delta z}\Delta\left(\frac{1}{2}v^2\right)\qquad\Rightarrow\qquad v_i = -\sqrt{v_{20}^2+2gz_0}=-\sqrt{7.0^2+2\times 9.8\times 1.4}=-8.743\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

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